Question

4．△ABC在平面直角坐標系xOy中的位置如圖所示．（不寫解答過程，直接寫出結(jié)果）
（1）若△A₁B₁C₁與△ABC關(guān)于原點O成中心對稱，則點A₁的坐標為（2，-3）；
（2）將△ABC向右平移4個單位長度得到△A₂B₂C₂，則點B₂的坐標為（3，1）；
（3）將△ABC繞O點順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，則點C走過的路徑長為π；
（4）在x軸上找一點P，使PA+PB的值最小，則點P的坐標為（-$\frac{5}{4}$，0）．

Answer 1

分析 （1）利用關(guān)于原點中心對稱的點的坐標特征求解；
（2）利用點的平移規(guī)律求解；
（3）點C走過的路徑為以點O為圓心，OC為半徑，圓心角為90度的弧，然后根據(jù)弧長公式計算點C走過的路徑長；
（4）先確定點B關(guān)于x軸的對稱點B′坐標為（-1，-1），連結(jié)AB′交x軸于P點，根據(jù)兩點之間線段最短可確定PA+PB的值最小，接著利用待定系數(shù)法求出直線AB′的解析式，然后求直線AB′與x軸的交點坐標就看得到點P的坐標．

解答 解：（1）若△A₁B₁C₁與△ABC關(guān)于原點O成中心對稱，則點A₁的坐標為（2，-3）；
（2）將△ABC向右平移4個單位長度得到△A₂B₂C₂，則點B₂的坐標為（3，1）；
（3）將△ABC繞O點順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，則點C走過的路徑長=$\frac{90•π•2}{180}$=π；
（4）B點關(guān)于x軸的對稱點B′坐標為（-1，-1），
連結(jié)AB′交x軸于P點，則PA+PB=PA+PB′=AB′，此時PA+PB的值最小，
設(shè)直線AB′的解析式為y=kx+b，
把A（-2，3），B′（-1，-1）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=3}\\{-k+b=1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{k=-4}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
所以直線AB′的解析式為y=-4x-5，
當y=0時，-4x-5=0，解得x=-$\frac{5}{4}$，
所以此時點P的坐標為（-$\frac{5}{4}$，0）．
故答案為（2，-3）；（3，1）；π；（-$\frac{5}{4}$，0）．

點評 本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應(yīng)點，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．也考查了平移變換與最短路徑問題．