Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC⊥EF交BC于點D，交AB于點E，延長ED到F，使EF=AC，連接CF、BF．
（1）四邊形ACFE是平行四邊形嗎？說說你的理由．
（2）當點D在BC的什么位置時，四邊形BECF是菱形？并予以證明．
（3）四邊形BECF可以是正方形嗎？為什么？

Answer 1

考點：正方形的判定,平行四邊形的判定,菱形的判定

專題：證明題

分析：（1）先證明EF∥AC，再由EF=AC，根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可證明四邊形ACFE是平行四邊形；
（2）當點D在BC的中點時，四邊形BECF是菱形．先證明AE=BE，再由四邊形ACFE是平行四邊形，得出CF∥AB，CF=AE，則BE=CF，BE∥CF，于是四邊形BECF是平行四邊形，又BC⊥EF，從而證明平行四邊形BECF是菱形；
（3）當Rt△ABC是等腰直角三角形，并且點D為BC的中點時，四邊形BECF可以是正方形．先由（2）知，當點D在BC的中點時，四邊形BECF是菱形，且AE=BE．由等腰三角形三線合一的性質得出∠BEC=90°，根據有一個角是直角的菱形是正方形得出菱形BECF是正方形．

解答：解：（1）四邊形ACFE是平行四邊形，理由如下：
∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∵BC⊥EF，
∴EF∥AC，
∵EF=AC，
∴四邊形ACFE是平行四邊形；

（2）當點D在BC的中點時，四邊形BECF是菱形．理由如下：
∵EF∥AC，點D在BC的中點，
∴AE=BE，
∵四邊形ACFE是平行四邊形，
∴CF∥AB，CF=AE，
∴BE=CF，BE∥CF，
∴四邊形BECF是平行四邊形，
∵BC⊥EF，
∴平行四邊形BECF是菱形；

（3）當Rt△ABC是等腰直角三角形，并且點D為BC的中點時，四邊形BECF可以是正方形．理由如下：
由（2）知，當點D在BC的中點時，四邊形BECF是菱形，且AE=BE．
∵等腰直角三角形ABC中，AC=BC，AE=BE，
∴CE⊥AB，∠BEC=90°，
∴菱形BECF是正方形．

點評：本題考查了平行四邊形的判定和性質、菱形的判定、等腰三角形的性質以及正方形的判定，解題的關鍵是掌握各種特殊幾何圖形的判定方法和各種性質．