Question

10．如圖，AF∥CD，BC平分∠ACD，BD平分∠EBF，且BC⊥BD，下列結論：
①BC平分∠ABE；②AC∥BE；③∠BCD+∠D=90°；④∠DBF=2∠ABC．
其中正確的結論為①②③．

Answer 1

分析 根據垂直定義得出∠CBD=∠CBE+∠DBE=90°，根據角平分線定義得出∠DBE=$\frac{1}{2}$∠FBE，求出∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABE，∠ACB=∠ECB，根據平行線的性質得出∠ABC=∠ECB，根據平行線的判定得出AC∥BE，根據三角形的內角和定理得出∠BCD+∠D=90°，即可得出答案．

解答 解：∵BC⊥BD，
∴∠CBD=∠CBE+∠DBE=90°，
∵∠ABE+∠FBE=180°，
∴$\frac{1}{2}$∠ABE+$\frac{1}{2}$∠FBE=90°，
∵BD平分∠EBF，
∴∠DBE=$\frac{1}{2}$∠FBE，
∴∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABE，
∴BC平分∠ABE，∠ABC=∠EBC，
∴∠ACB=∠ECB，
∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠ECB，
∴∠ACB=∠EBC，
∴AC∥BE，
∵∠DBC=90°，
∴∠BCD+∠D=90°，
∴①②③正確；
∵根據已知條件不能推出∠DBF=2∠ABC，
∴④錯誤；
故答案為：①②③．

點評 本題考查了平行線的性質和判定，垂直定義，角平分線定義，三角形的內角和定理的應用，能綜合運用性質進行推理是解此題的關鍵，題目比較好，難度適中．