Question

如圖，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．
（1）判斷四邊形EFGH的形狀，并說(shuō)明你的理由；
（2）連接BD和AC，當(dāng)BD、AC滿足何條件時(shí)，四邊形EFGH是正方形．（不要求證明）

Answer 1

分析：（1）連接AC，由E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，易得EF∥HG∥AC，且EF=HG=

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AC，則可得四邊形EFGH是平行四邊形；
（2）當(dāng)BD=AC，易證得四邊形ABCD是菱形，當(dāng)BD⊥AC時(shí)，易得∠EHG=90°，則可得四邊形EFGH是正方形．

解答：解：（1）四邊形EFGH是平行四邊形．
理由：連接AC，
∵E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，
∴EF∥AC，且EF=

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AC，
同理，HG∥AC，且HG=

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AC，
∴EF∥HG，且EF=HG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形；

（2）當(dāng)BD=AC，且BD⊥AC時(shí)，EFGH是正方形．
理由：連接AC，BD，
∵E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，
∴EF=GH=

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AC，GH=FG=

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BD，EH∥BD，GH∥AC，
∵BD=AC，BD⊥AC，
∴EH=EF=FG=GH，EH⊥GH，
∴四邊形ABCD是菱形，∠EHG=90°，
∴四邊形EFGH是正方形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了中點(diǎn)四邊形的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)、平行四邊形以及正方形的判定．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．