Question

在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上．反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象分別交邊AB、BC于D、E，交對角線OB于F．

（1）如圖甲，頂點B的坐標為（4，3），若點F是OB的中點，則k=

 

，

BD

BE

=

 

．
（2）如圖乙，點B的坐標為（m，n），
①試探尋線段BD與BE的長度關系，并說明理由；
②設直線DE分別與x軸、y軸交與點G、H，試探尋線段DG與EH的長度關系，并說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)頂點B的坐標和點F是OB的中點，得出點F的坐標，再根據(jù)點F在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上，求出反比例函數(shù)的解析式，從而求出BD、BE的長，再代入計算即可得出答案．
（2）①根據(jù)點B的坐標為（m，n），表示出點D的坐標和點E的坐標，從而得出AD=

k

m

，EC=

k

n

，再根據(jù)BD=AB-AD和BE=BC-CE，求出

BD

BE

，即可得出答案；
②根據(jù)

DG

DE

=

AD

BD

=

k

mn-k

和

HE

DE

=

CE

DE

=

k

mn-k

，即可得出DG=HE．

解答：解：（1）∵頂點B的坐標為（4，3），點F是OB的中點，
∴點F的坐標為：（2，

3

2

），
∵點F在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上，
∴k=xy=2×

3

2

=3，
∴當x=4時，y=

3

4

，
即AD=

3

4

，
∴BD=AB-AD=3-

3

4

=

9

4

，
當y=3時，x=

3

3 2

=2，
∴CE=2，
∴BE=BC-CE=4-2=2，
∴

BD

BE

=

9

8

；
故答案為：3；

9

8

；

（2）①∵點B的坐標為（m，n），
∴點D的坐標是（m，

k

m

），點E的坐標是（

k

n

，n），
∴AD=

k

m

，EC=

k

n

，
∴BD=AB-AD=n-

k

m

，BE=BC-CE=m-

k

n

，
∴

BD

BE

=

n- k m

m- k n

=

mn2-nk

m2n-mk

，
②∵

DG

DE

=

AD

BD

=

k m

n- k m

=

k

mn-k

，

HE

DE

=

CE

DE

=

k n

m- k n

=

k

mn-k

，
∴

DG

DE

=

HE

DE

，
∴DG=HE．

點評：此題考查了反比例函數(shù)的綜合，用到的知識點是反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，關鍵是用m、n、k表示出線段的長度．