Question

如圖，以等腰三角形ABC的腰AB為直徑的⊙O交底邊BC于點(diǎn)D，交腰AC于點(diǎn) G，過(guò)D點(diǎn)作DE上AC于點(diǎn)E．
（1）試確定直線DE與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若CD=2，AC=5，求CG的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,等腰三角形的性質(zhì),解直角三角形

專題：

分析：（1）連接OD，AD，根據(jù)圓周角定理由AB為直徑得∠ADB=90°，而AB=AC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BD=CD，于是可判斷OD為△ABC的中位線，所以O(shè)D∥AC，而DE⊥AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)有OD⊥DE，然后根據(jù)切線的判定定理得到DE與⊙O相切；
（2）連結(jié)BG，根據(jù)圓周角定理由AB是⊙O的直徑得∠AGB=90°，由CD=2得BC=2CD=4，然后證明Rt△ADC∽R(shí)t△BCG，利用相似比可計(jì)算出CG．

解答：解：（1）直線DE與⊙O相切．理由如下：
連接OD，AD，如圖，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
而OA=OB，
∴OD為△ABC的中位線，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE與⊙O相切；

（2）連結(jié)BG，如圖，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AGB=90°，
∵CD=2，
∴BC=2CD=4，
∵∠ACD=∠BCG，
∴Rt△ADC∽R(shí)t△BCG，
∴

CD

CG

=

AC

BC

，即

2

CG

=

5

4

∴CG=

8

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．