Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形AOBC的邊OB在x軸的正半軸上，AC∥OB，BC⊥OB，過(guò)點(diǎn)A的雙曲線y=

k

x

的一支在第一象限交四邊形對(duì)角線OC于點(diǎn)D，交邊BC于點(diǎn)E．
（1）雙曲線的另一支在第

 

象限，k的取值范圍是

 

；
（2）若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，2），當(dāng)點(diǎn)E在什么位置時(shí)，陰影部分的面積S最��？
（3）若

OD

OC

=

1

2

，S_△OAC=1，求雙曲線的表達(dá)式．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）由雙曲線y=

k

x

的一支在第一象限，可得雙曲線的另一支在第三象限，k的取值范圍是：k＞0；
（2）由點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，2），AC∥OB，BC⊥OB，可得點(diǎn)A（

k

2

，2），E（2，

k

2

），即可得S_陰影=S_△ACE+S_△OBE=

1

2

AC•CE+

1

2

k=

1

2

（2-

k

2

）²+

1

2

k=

1

8

（k-2）²+

3

2

，繼而求得答案；
（3）首先延長(zhǎng)CA交y軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥y軸于點(diǎn)N，易得△ODN∽△OCM，然后由相似三角形面積比等于相似比的平方，可得

S△ODN

S△OCM

=（

OD

OC

）²=（

1

2

）²=

1

4

，又由S_△OAM=S_△ODN=

k

2

，S_△OAC=1，即可得：

k 2

1+ k 2

=

1

4

，繼而求得答案．

解答：解：（1）∵雙曲線y=

k

x

的一支在第一象限，
∴雙曲線的另一支在第三象限，k的取值范圍是：k＞0；
故答案為：三，k＞0；

（2）∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，2），AC∥OB，BC⊥OB，
∴點(diǎn)A（

k

2

，2），E（2，

k

2

），
∴AC=2-

k

2

，CE=2-

k

2

，
∴S_陰影=S_△ACE+S_△OBE=

1

2

AC•CE+

1

2

k=

1

2

（2-

k

2

）²+

1

2

k=

1

8

（k-2）²+

3

2

，
∴當(dāng)k=2時(shí)，陰影部分的面積S最小，
此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（2，1）；

（3）延長(zhǎng)CA交y軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥y軸于點(diǎn)N，
∴DN∥OB，BC⊥OB，
∵AC∥OB，CM⊥y軸，
∴△ODN∽△OCM，
∴

S△ODN

S△OCM

=（

OD

OC

）²=（

1

2

）²=

1

4

，
∵點(diǎn)A與點(diǎn)D在雙曲線y=

k

x

的圖象上，
∴S_△OAM=S_△ODN=

k

2

，
∵S_△OAC=1，
∴

k 2

1+ k 2

=

1

4

，
解得：k=

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)求函數(shù)解析式的知識(shí)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及二次函數(shù)的最值問(wèn)題．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．