Question

3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C₁：y=m（x-2）²與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P（-3，0），PA=PB．
（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)及m的值；
（2）將拋物線C₁平移后得到拋物線C₂，若拋物線C₂經(jīng)過(guò)P且與x軸有另一個(gè)交點(diǎn)Q，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，當(dāng)△B′PQ為等腰直角三角形時(shí)，求拋物線C₂的解析式；
（3）若拋物線C₃：y=ax²+bx+c過(guò)點(diǎn)P且與x軸交于另一點(diǎn)E，拋物線的頂點(diǎn)為D，當(dāng)△DFE為等腰直角三角形時(shí)，求b²-4ac的值．

Answer 1

分析 （1）由拋物線的解析式可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而可求得PA=PB=5，利用勾股定理可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入解析式可求得m的值；
（2）設(shè)平移后拋物線的解析式為y=（x-a）²+b．過(guò)點(diǎn)B′作B′C⊥x軸，垂足為C，由等腰直角三角形的性質(zhì)可知PC=B′C，結(jié)合拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式可得到a與b的關(guān)系式，由點(diǎn)P在拋物線上，可得到a與b的另一個(gè)關(guān)系，從而可求得a、b的值；
（3）過(guò)點(diǎn)B′作B′C⊥x軸，垂足為C，利用一元二次方程的求根公式，表示出EC的長(zhǎng)，然后依據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式表示DC的長(zhǎng)，最后依據(jù)EC=DC列方程求解即可．

解答 解：（1）∵拋物線的對(duì)稱軸為x=2，
∴B（2，0）．
又∵P（-3，0），
∴PB=5．
∴PA=PB=5．
∴OA=$\sqrt{A{P}^{2}-O{P}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4．
∴A（0，4）．
將（0，4）代入得：4m=4，解得m=1．
（2）如圖1所示；過(guò)點(diǎn)B′作B′C⊥x軸，垂足為C．

設(shè)平移后拋物線的解析式為y=（x-a）²+b．
∵△B′PQ為等腰直角三角形，CB′⊥QP，
∴PC=B′C．
∴3+a=b．
又∵拋物線過(guò)點(diǎn)P，
∴（3+a）²+b=0．
∴b²+b=0．
解得：b=0，b=-1．
當(dāng)b=0時(shí)，a=-3（不和題意，舍去）．
當(dāng)b=-1時(shí)，3+a=-1．解得a=-4．
∴拋物線C₂的解析式為y=（x+4）²-1．
如圖2所示：過(guò)點(diǎn)B′作B′C⊥x軸，垂足為C．

設(shè)平移后拋物線的解析式為y=（x-a）²+b．
∵△B′PQ為等腰直角三角形，CB′⊥QP，
∴PC=B′C．
∴a+3=-b．
又∵拋物線過(guò)點(diǎn)P，
∴（3+a）²+b=0．
∴b²+b=0．
解得：b=0，b=-1．
當(dāng)b=0時(shí)，a=-3（不和題意，舍去）．
當(dāng)b=-1時(shí)，3+a=1．解得a=-2．
∴拋物線C₂的解析式為y=（x+2）²-1．
∴拋物線C₂的解析式為y=（x+2）²-1，或y=（x+4）²-1．
（3）如圖3所示：過(guò)點(diǎn)D作DC⊥x軸，垂足為C．

∵△PDE為等腰直角三角形，
∴CE=CD．
∴|$\frac{\sqrt{^{2}-4ac}}{2a}$|=|$\frac{4ac-^{2}}{4a}$|．
∴$\frac{^{2}-4ac}{4{a}^{2}}$=$\frac{（^{2}-4ac）^{2}}{16{a}^{2}}$．
解得：b²-4ac=4或：b²-4ac=0（舍去）．
當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，此時(shí)|$\frac{\sqrt{^{2}-4ac}}{2a}$|=|$\frac{4ac-^{2}}{4a}$|仍然成立．
綜上所述，b²-4ac=4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、勾股定理、一元二次方程的求根公式、二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，等腰直角三角形的性質(zhì)，依據(jù)CE=DC、PC=B′C列出關(guān)于a、b、c的方程是解題的關(guān)鍵．