Question

12．將拋物線y₁=x²先向右平移m個單位，再向上平移n個單位（m，n均為非負(fù)數(shù)、且m，n不同時為0）得到拋物線y₂，拋物線y₁與y₂交點的橫坐標(biāo)為2．
（1）①請直接寫出y₂的函數(shù)解析式（用含m，n的式子表示）；
②求n與m的等量關(guān)系式；
（2）兩次平移距離之和能否為7？若能，請求出m的值；若不能，請說明理由；
（3）當(dāng)m為何值時，|m-n|最大，并求出這個最大值．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)平移的性質(zhì)“左加右減，上加下減”即可得出拋物線y₂的函數(shù)解析式；
②令拋物線y₁=x²中x=2，求出y值即可得出兩拋物線的交點坐標(biāo)，將其代入拋物線y₂的解析式中整理后即可得出n與m的等量關(guān)系式；
（2）假設(shè)能為7，將n=7-m代入n=4m-m²中得出關(guān)于m的一元二次方程，由該方程的判別式△＜0，可得出方程無解，由此即可得出假設(shè)不成了，即兩次平移距離之和不能為7；
（3）將n=4m-m²代入|m-n|中，整理后得出|m-n|=|$（m-\frac{3}{2}）^{2}$-$\frac{9}{4}$|，設(shè)m+n=a，將其代入n=4m-m²中，根據(jù)方程有解得出a的取值范圍，再根據(jù)m，n均為非負(fù)數(shù)、且m，n不同時為0，即可得出m的取值范圍，將m的最大值代入|m-n|=|$（m-\frac{3}{2}）^{2}$-$\frac{9}{4}$|中，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）①∵將拋物線y₁=x²先向右平移m個單位，再向上平移n個單位得到拋物線y₂，
∴y₂=（x-m）²+n．
②令y₁=x²中x=2，則y₁=4，
∴拋物線y₁與y₂交點的坐標(biāo)為（2，4），
∴4=（2-m）²+n，整理得：n=4m-m²．
（2）假設(shè)能，將n=7-m代入n=4m-m²中得m²-5m+7=0，
∵△=（-5）²-4×7=-3＜0，
∴關(guān)于m的一元二次方程m²-5m+7=0無解，
∴假設(shè)不成，故兩次平移距離之和不能為7．
（3）|m-n|=|m-（4m-m²）|=|m²-3m|=|$（m-\frac{3}{2}）^{2}$-$\frac{9}{4}$|．
設(shè)m+n=a，將n=a-m代入n=4m-m²中得m²-5m+a=0，
∵m有解，
∴△=（-5）²-4a≥0，
解得：a≤$\frac{25}{4}$．
∵m，n均為非負(fù)數(shù)、且m，n不同時為0，
∴m≤$\frac{25}{4}$，
∴當(dāng)m=$\frac{25}{4}$時，|m-n|取最大值，最大值為$\frac{325}{16}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、平移的性質(zhì)以及根的判別式，解題的關(guān)鍵是：（1）①根據(jù)平移的性質(zhì)寫出y₂的函數(shù)解析式；②將（2，4）代入y₂的函數(shù)解析式中找出m、n之間的關(guān)系；（2）利用反證法根據(jù)方程無解得出假設(shè)不成立；（3）根據(jù)關(guān)于m的方程有解結(jié)合根的判別式得出m的取值范圍．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)方程有解找出m的取值范圍是關(guān)鍵．