Question

某商場在一樓和二樓之間安裝了一自動扶梯，以均勻的速度向上行駛，一男孩和一女孩同時從自動扶梯上走到二樓（扶梯行駛，兩人也走梯）．如果兩人上梯的速度都是勻速的，每次只跨1級，且男孩每分鐘走動的級數(shù)是女孩的2倍．已知男孩走了27級到達扶梯頂部，而女孩走了18級到達頂部．
（1）扶梯露在外面的部分有多少級？
（2）現(xiàn)扶梯近旁有一從二樓下到一樓的樓梯道，臺階的級數(shù)與自動扶梯的級數(shù)相等，兩個孩子各自到扶梯頂部后按原速度再下樓梯，到樓梯底部再乘自動扶梯上樓（不考慮扶梯與樓梯間的距離）．求男孩第一次追上女孩時走了多少級臺階？

Answer 1

解：（1）設女孩上梯速度為x級/分，自動扶梯的速度為y級/分，扶梯露在外面的部分有S級，則男孩上梯的速度為2x級/分．
由題意，有，
解得S=54．
答：扶梯露在外面的部分有54級．

（2）設男孩第一次追上女孩時走過自動扶梯m遍，走過樓梯n遍，則女孩走過自動扶梯（m-1）遍、走過樓梯（n-1）遍．
由題意，有．
由（1）中可求得y=2x，代入上面方程化簡得6n+m=16．
∵無論男孩第一次追上女孩是在自動扶梯還是在下樓時，m、n中一定有一個是正整數(shù)，且0≤|m-n|≤1．
試驗知只有m=3，n=符合要求．
∴3×27+×54=198（級）．
答：男孩第一次追上女孩時走了198級臺階．
分析：（1）如果設女孩上梯速度為x級/分，自動扶梯的速度為y級/分，扶梯露在外面的部分有S級．題中有兩個等量關系，男孩走27級的時間等于扶梯走（S-27）級的時間；女孩走18級的時間等于扶梯走（S-18）級的時間，據(jù)此列出方程組，求出S的值即可；
（2）如果設男孩第一次追上女孩時走過自動扶梯m遍，走過樓梯n遍，那么女孩走過自動扶梯（m-1）遍、走過樓梯（n-1）遍．
根據(jù)兩人所走的時間相等，列出方程．將（1）中求得的y與x的關系式y(tǒng)=2x代入，可得6n+m=16．由已知條件可知m、n中一定有一個是正整數(shù)，且0≤m-n≤1．通過試驗可以求出m，n的具體值，進而求出結(jié)果．
點評：本題考查分式方程在行程問題中的應用，分析題意，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵．本題屬于競賽題型，有一定難度．難點在于自動扶梯在上升，具有一定的速度，同時男孩、女孩也在上樓梯，變化量較多．解題時要善于抓住不變量，只有不變量才是列方程的依據(jù)．另外，本題求解時設的未知數(shù)x、y，只設不求，這種方法在解復雜的應用題時常用來幫助分析數(shù)量關系，便于解題．