Question

如圖，點(diǎn)P、Q分別是邊長(zhǎng)為4cm的等邊△ABC的邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)（其中P、Q不與端點(diǎn)重合），點(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s，連接AQ、CP交于點(diǎn)M，則在P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，下列結(jié)論：⑴BP=CM；⑵△ABQ≌△CAP；⑶∠CMQ的度數(shù)始終等于60°；⑷當(dāng)?shù)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/CZSX/web/STSource/2015020106033398961118/SYS201502010603349897494658_ST/SYS201502010603349897494658_ST.001.png">秒或第秒時(shí)，△PBQ為直角三角形．其中正確的結(jié)論有（ ）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)

 

Answer 1

A．

【解析】

試題分析：A、在等邊△ABC中，AB=BC．

∵點(diǎn)P、Q的速度都為1cm/s，

∴AP=PQ，

∴BP=CQ．

只有當(dāng)CM=CQ時(shí)，BP=CM．故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、∵△ABC是等邊三角形

∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，

又∵點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)速度相同，

∴AP=BQ，

在△ABQ與△CAP中，

∵，

∴△ABQ≌△CAP（SAS）．

故本選項(xiàng)正確；

C、點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠QMC不變．

理由：∵△ABQ≌△CAP，

∴∠BAQ=∠ACP，

∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，

∴∠CMQ=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°．故本選項(xiàng)正確；

D、設(shè)時(shí)間為t秒，則AP=BQ=tcm，PB=（4-t）cm，

當(dāng)∠PQB=90°時(shí)，

∵∠B=60°，

∴PB=2BQ，即4-t=2t，t= ，

當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，

∵∠B=60°，

∴BQ=2BP，得t=2（4-t），t=，

∴當(dāng)?shù)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/CZSX/web/STSource/2015020106033398961118/SYS201502010603349897494658_DA/SYS201502010603349897494658_DA.002.png">秒或第秒時(shí)，△PBQ為直角三角形．故本選項(xiàng)正確．

故選A．

考點(diǎn)：1.全等三角形的判定與性質(zhì)；2.等邊三角形的性質(zhì)．