Question

如圖，直線(xiàn)y=2x+4與x軸交于A，與y軸交于B，點(diǎn)O₁在x軸上，⊙O₁過(guò)A，B點(diǎn)x軸交于另一點(diǎn)A，與y軸交于另一點(diǎn)D．

（1）求點(diǎn)O₁的坐標(biāo)；
（2）BE平分△ABC的外角，并交⊙O₁于E，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)M為

CD

上一動(dòng)點(diǎn)，EN⊥AM于N，若EN=3

5

，求CM-AM的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線(xiàn)解析式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，從而得到OA、OB，再利用相交弦定理列式求出OC的長(zhǎng)度，然后求出⊙O₁的直徑，再求出半徑和OO₁，最后寫(xiě)出點(diǎn)O₁的坐標(biāo)即可；
（2）連接EO₁，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得∠ABC=90°，再根據(jù)角平分線(xiàn)的定義求出∠CBE=45°，然后根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半求出∠EO₁C=90°，從而得到EO₁⊥x軸，再寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)即可；
（3）連接AE、ME、CE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CM于F，根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等可得∠AME=∠CME，根據(jù)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得EN=EF，利用勾股定理列式求出AE，再利用勾股定理列式求出AN，然后利用“HL”證明Rt△ANE和Rt△CFE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CF=AN，再根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可得CM-AM=AN+CF，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得解．

解答：解：（1）令y=0，則2x+4=0，
解得x=-2，
令x=0，則y=4，
∴A（-2，0），B（0，4），
∴OA=2，OB=4，
∵AC⊥BD，
∴OA•OC=OB²，
即2•OC=4²，
解得OC=8，
∴⊙O₁的直徑為2+8=10，
半徑=

1

2

×10=5，
∴OO₁=8-5=3，
∴點(diǎn)O₁的坐標(biāo)為（3，0）；

（2）如圖1，連接EO₁，
∵AC是直徑，
∴∠ABC=90°，
∵BE平分△ABC的外角，
∴∠CBE=

1

2

（180°-90°）=45°，
∴∠EO₁C=2∠CBE=2×45°=90°，
∴EO₁⊥x軸，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，5）；

（3）如圖2，連接AE、ME、CE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CM于F，
∵EO₁⊥x軸，
∴

AE

=

CE

，
∴∠AME=∠CME，AE=CE，
∵EN⊥AM，
∴EN=EF，
∵⊙O₁的半徑是5，
∴AE=5

2

，
在Rt△ANE中，AN=

AE2-EN2

=

(5 2 )2-(3 5 )2

=

5

，
在Rt△ANE和Rt△CFE中，

AE=CE EN=EF

，
∴Rt△ANE≌Rt△CFE（HL），
∴CF=AN=

5

，
由角平分線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，CM-AM=AN+CF=

5

+

5

=2

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題是圓的綜合題型，主要考查了相交弦定理，直徑所對(duì)的圓周角是直角，同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半，角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，（2）求出∠EO₁C=90°是解題的關(guān)鍵，（3）難點(diǎn)在于作輔助線(xiàn)得到角平分線(xiàn)并構(gòu)造出全等三角形．