Question

（2013•閘北區(qū)二模）已知：如圖，在⊙O中，M是弧AB的中點，過點M的弦MN交弦AB于點C，設⊙O半徑為4cm，MN=4

3

cm，OH⊥MN，垂足是點H．
（1）求OH的長度；
（2）求∠ACM的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）連接MO交弦AB于點E，由OH⊥MN，O是圓心，根據(jù)垂徑定理得到MH等于MN的一半，然后在直角三角形MOH中利用勾股定理即可求出OH；
（2）由M是弧AB的中點，MO是半徑，根據(jù)垂徑定理得到OM垂直AB，在直角三角形OHM中，根據(jù)一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條這條直角邊所對的角為30度，即角OMH等于30度，最后利用三角形的內(nèi)角和定理即可求出角ACM的度數(shù)．

解答：解：連接MO交弦AB于點E，
（1）∵OH⊥MN，O是圓心，
∴MH=

1

2

MN，
又∵MN=4

3

cm，
∴MH=2

3

cm，
在Rt△MOH中，OM=4cm，
∴OH=

OM2-MH2

=

42-(2 3 )2

=2（cm）；

（2）∵M是弧AB的中點，MO是半徑，
∴MO⊥AB           
∵在Rt△MOH中，OM=4cm，OH=2cm，
∴OH=

1

2

MO，
∴∠OMH=30°，
∴在Rt△MEC中，∠ACM=90°-30°=60°．

點評：此題考查了垂徑定理，勾股定理，以及含30°角的直角三角形，熟練掌握垂徑定理是解本題的關鍵．