Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過E作⊙O的切線ED，切點(diǎn)為C，AD⊥ED交ED于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)F，CG⊥AB交AB于點(diǎn)G．
求證：BG•AG=DF•DA．

Answer 1

分析：首先利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出CD²=AD×DF，CG²=BG×AG，進(jìn)而得出△AGC≌△ADC（AAS），則CG=CD，得出答案即可．

解答：證明：連接BC，F(xiàn)C，CO，
∵過E作⊙O的切線ED，
∴∠DCF=∠CAD，
∠D=∠D，
∴△CDF∽△ADC，
∴

CD

AD

=

DF

CD

，
∴CD²=AD×DF，
∵CG⊥AB，AB為直徑，
∴∠BCA=∠AGC=∠BGC=90°，
∴∠GBC+∠BCG=90°，∠BCG+∠GCA=90°，
∴∠GBC=∠ACG，
∴△BGC∽△CGA，
∴

CG

AG

=

BG

CG

，
∴CG²=BG×AG，
∵過E作⊙O的切線ED，
∴OC⊥DE，
∵AD⊥DE，
∴CO∥AD，
∴∠OCA=∠CAD，
∵AO=CO，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OAC=∠CAD，
在△AGC和△ADC中，

∠CGA=∠D ∠GAC=∠DAC AC=AC

，
∴△AGC≌△ADC（AAS），
∴CG=CD，
∴BG×AG=AD×DF．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出△AGC≌△ADC是解題關(guān)鍵．