Question

已知平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x²+4x與x軸交于點A（x₁，0），x₁＞0，對稱軸為直線l，點P（m，n）為拋物線上一點，且在第四象限，點P關(guān)于直線l對稱點為E，點E關(guān)于x軸的對稱點為F，若四邊形OPAF的面積為20，求m、n的值．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：

分析：首先根據(jù)拋物線的對稱軸方程求出E點的坐標(biāo)，進而可得到F點的坐標(biāo)，由此可求出PF的長，即可判斷出四邊形OAPF的形狀，然后根據(jù)其面積求出n的值，再代入拋物線的解析式中即可求出m的值．

解答：解：∵拋物線y=-x²+4x，
∴拋物線的對稱軸為x=2，
∴點P（m，n）關(guān)于直線x=2的對稱點坐標(biāo)為點E（4-m，n），
∴點E關(guān)于y軸對稱點為點F坐標(biāo)為（m-4，n），
∴FP=OA=4，即FP、OA平行且相等，
∴四邊形OAPF是平行四邊形；
即S=OA•|n|=20，即|n|=5；
∵點P為第四象限的點，
∴n＜0，
∴n=-5；
代入拋物線方程得m=-1（舍去）或m=5，
故m=5，n=-5．

點評：此題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，坐標(biāo)軸公式，頂點公式，此題是一道綜合題，注意第二問難度比較大；