Question

14．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=2，BC=4．P為線段BC上的
一動(dòng)點(diǎn)，且和點(diǎn)B，C不重合，連接PA，過點(diǎn)P作PE⊥PA交CD所在直線于點(diǎn)E，
將△PEC沿PE翻折至△PEG的位置，連接AG，若∠BAG=90°，則線段BP的長(zhǎng)為$\frac{2}{3}$或2．

Answer 1

分析 作AM⊥PG于M．設(shè)BP=x．首先證明△APB≌△APM，在Rt△AMG中利用勾股定理列出方程即可解決問題．

解答 解：如圖，作AM⊥PG于M．設(shè)BP=x．

∵∠APE=90°，
∴∠APG+∠GPE=90°，∠APB+∠EPC=90°，
∵∠EPG=∠EPC，
∴∠BPA=∠APM，
∵AB⊥BP，AM⊥PG，
∴AB=AM=2，
在Rt△APB和Rt△APM中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=PA}\\{AB=AM}\end{array}\right.$，
∴△APB≌△APM，
∴PB=PM=x，
∵AG∥BC，
∴∠APB=∠PAG=∠APG，
∴AG=GP=PC=4-x，
在Rt△AMG中，∵AM²+MG²=AG²，
∴2²+（4-2x）²=（4-x）²，
∴3x²-8x+4=0，
∴x=2或$\frac{2}{3}$，
∴PB=2或$\frac{2}{3}$，
故答案為$\frac{2}{3}$或2

點(diǎn)評(píng) 本題考查翻折變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，教育的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．