Question

方程3x²-8xy+7y²-4x+2y=109的整數(shù)解是______．

Answer 1

3x²+（-8y-4）x+（7y²+2y-109）=0，
其判別式△=（y+4）²-12（7y²+2y-109）=4（-5y²+10y+331）應(yīng)為完全平方數(shù)，
設(shè)-5y²+10y+331=u²（u為正整數(shù)），則x=

4y+2±u

3

（1），
又由-5y²+10y+331-u²=0（2），
其判別式△′=100+20（331-u²）=4×5（336-u²）應(yīng)為完全平方數(shù)．從而336-u²必有因數(shù)5，
設(shè)336-u²=5v²（v為正整數(shù)）（3），
則y=1±v（4），
v²=

1

5

(336-u2)＜

1

5

(336-12)=67，
∴1≤v≤8，把v=1，2，3，4，5，6，7，8代入（3）得²=331，316，291，256，211，156，140，16，
易得方程（3）的正整數(shù)解為

u1=4 v1=8

u2=16 v2=4

，
代入（1）（4）可得原方程組的四組整數(shù)（14，9）；（-10，-7）；（2，5）；（2，-3）．
故填：（14，9）；（-10，-7）；（2，5）；（2，-3）．