Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)為圓心，以為半徑的⊙A與軸相交于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)．

（1）若拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，求拋物線的解析式，并判斷點(diǎn)是否在該拋物線上；

（2）在（1）中的拋物線的對(duì)稱軸上求一點(diǎn)，使得的周長(zhǎng)最�。�

（3）設(shè)為（1）中的拋物線的對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)，使得以B、C、Q、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？∠若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

解：（1）

 

Answer 1

解：（1）∵，⊙A的半徑為

∴OA=，AD=

，  

在中，，

∴OD=3，的坐標(biāo)為 

∵拋物線過兩點(diǎn)，

 

∴

所求拋物線的解析式為：    

　當(dāng)時(shí)，

點(diǎn)在拋物線上                  

（2）

　拋物線的對(duì)稱軸方程為 

　在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)，使的周長(zhǎng)最�。�

　的長(zhǎng)為定值　　　要使周長(zhǎng)最小只需最�。�

　連結(jié)，則與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為使周長(zhǎng)最小的點(diǎn)．

　∵直線的解析式為    

當(dāng)x=時(shí)，y=-2，

∴所求點(diǎn)的坐標(biāo)為        

（3）在拋物線上存在點(diǎn)，使得以B、C、Q、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

  ∵BC=4

①     當(dāng)BC為平行四邊形的邊，且點(diǎn)M在拋物線對(duì)稱軸的左側(cè)時(shí)，

所求M點(diǎn)的坐標(biāo)是（-3，12）  

②     當(dāng)BC為平行四邊形的邊，且點(diǎn)M在拋物線對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，

所求M點(diǎn)的坐標(biāo)是（5，12）   

③當(dāng)BC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，所求M點(diǎn)的坐標(biāo)是（，4）-----9分

綜上所述：在拋物線上存在點(diǎn)，使得以B、C、Q、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，且所求M的坐標(biāo)為（-3，12）、（5，12）、

（，4）．