Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A(0，6)，點B是x軸上的一個動點，連結(jié)AB，取AB的中點M，將線段MB繞著點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到線段BC過點B作x軸的垂線交直線AC于點D設(shè)點B坐標(biāo)是(t，0)．

(1)當(dāng)t＝4時，求直線AB的解析式；

(2)當(dāng)t＞0時，用含t的代數(shù)式表示點C的坐標(biāo)及△ABC的面積；

(3)是否存在點B，使△ABD為等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的點B的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)當(dāng)t＝4時，B(4，0) 　　設(shè)直線AB的解析式為y＝kx＋b． 　　把A(0，6)，B(4，0)代入得： 　　，解得：， 　　∴直線AB的解析式為：y＝－x＋6．　4分 　　(2)過點C作CE⊥x軸于點E 　　由∠AOB＝∠CEB＝90°，∠ABO＝∠BCE，得△AOB∽△BEC 　　∴， 　　∴BE＝AO＝3，CE＝OB＝， 　　∴點C的坐標(biāo)為(t＋3，)．　6分 　　方法一： 　　S梯形AOEC＝OE·(AO＋EC)＝(t＋3)(6＋)＝t2＋t＋9， 　　S△AOB＝AO·OB＝×6·t＝3t， 　　S△BEC＝BE·CE＝×3×＝t， 　　∴S△ABC＝S梯形AOEC－S△AOB－S△BEC 　　＝t2＋t＋9－3t－t＝t2＋9． 　　方法二： 　　∵AB⊥BC，AB＝2BC，∴S△ABC＝AB·BC＝BC2． 　　在Rt△ABC中，BC2＝CE2＋BE2＝t2＋9， 即S△ABC＝t2＋9．　8分 　　(3)存在，理由如下： 　�、佼�(dāng)t≥0時． 　　Ⅰ．若AD＝BD 　　又∵BD∥y軸 　　∴∠OAB＝∠ABD，∠BAD＝∠ABD， 　　∴∠OAB＝∠BAD 　　又∵∠AOB＝∠ABC， 　　∴△ABO∽△ACB， 　　∴， 　　∴＝， 　　∴t＝3，即B(3，0)． 　�、颍�若AB＝AD 　　延長AB與CE交于點G， 　　又∵BD∥CG 　　∴AG＝AC 　　過點A畫AH⊥CG于H． 　　∴CH＝HG＝CG 　　由△AOB∽△GEB， 　　得， 　　∴GE＝． 　　又∵HE＝AO＝6，CE＝ 　　∴＋6＝×(＋) 　　∴t2－24t－36＝0 　　解得：t＝12±6．因為t≥0， 　　所以t＝12＋6，即B(12＋6，0)． 　�、螅�由已知條件可知，當(dāng)0≤t＜12時，∠ADB為鈍角，故BD≠AB 　　當(dāng)t≥12時，BD≤CE＜BC＜AB 　　∴當(dāng)t≥0時，不存在BD＝AB的情況． 　�、诋�(dāng)－3≤t＜0時，如圖，∠DAB是鈍角．設(shè)AD＝AB， 　　過點C分別作CE⊥x軸，CF⊥y軸于點E，點F． 　　可求得點C的坐標(biāo)為(t＋3，)， 　　∴CF＝OE＝t＋3，AF＝6－， 　　由BD∥y軸，AB＝AD得， 　　∠BAO＝∠ABD，∠FAC＝∠BDA，∠ABD＝∠ADB 　　∴∠BAO＝∠FAC， 　　又∵∠AOB＝∠AFC＝90°， 　　∴△AOB∽△AFC， 　　∴， 　　∴， 　　∴t2－24t－36＝0 　　解得：t＝12±6．因為－3≤t＜0， 　　所以t＝12－6，即B(12－6，0)． 　�、郛�(dāng)t＜－3時，如圖，∠ABD是鈍角．設(shè)AB＝BD， 　　過點C分別作CE⊥x軸，CF⊥y軸于點E，點F， 　　可求得點C的坐標(biāo)為(t＋3，)， 　　∴CF＝(t＋3)，AF＝6－， 　　∵AB＝BD，∴∠D＝∠BAD． 　　又∵BD∥y軸， 　　∴∠D＝∠CAF， 　　∴∠BAC＝∠CAF． 　　又∵∠ABC＝∠AFC＝90°，AC＝AC， 　　∴△ABC≌△AFC， 　　∴AF＝AB，CF＝BC， 　　∴AF＝2CF，即6－＝－2(t＋3)， 　　解得：t＝－8，即B(－8，0)． 　　綜上所述，存在點B使△ABD為等腰三角形，此時點B坐標(biāo)為： 　　B1(3，0)，B2(12＋6，0)，B3(12－6，0)，B4(－8，0)．　14分