Question

1．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E、F是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，連接BE、ED、DF、FB，若∠ADF=∠CBE=90°．
（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；
（2）若∠BAC=30°，∠BEC=45°，請(qǐng)判斷AB與CE有什么數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）只要證明△BCE≌△ADF，推出BE=DF，∠BEC=∠DFA，推出BE∥DF，由此即可證明；
（2）結(jié)論：AB=EC．作BH⊥AC于H．只要證明AB=2BH，EC=2BH即可解決問(wèn)題；

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠BCE=∠DAF，
在△BCE和△DAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBE=∠ADF=90°}\\{BC=AD}\\{∠BCE=∠DAF}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ADF，
∴BE=DF，∠BEC=∠DFA，
∴BE∥DF，
∴四邊形BEDF是平行四邊形．

（2）結(jié)論：AB=EC．
理由：作BH⊥AC于H．
在Rt△ABH中，∵∠AHB=90°，∠BAH=30°，
∴AB=2BH，
在Rt△BEC中，∵∠EBC=90°，∠BEC=45°，BH⊥CE，
∴EH=HC，
∴EC=2BH，
∴AB=EC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形30度角性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．