Question

13．如圖，正方形OABC的邊長(zhǎng)為6，A，C分別位于x軸、y軸上，點(diǎn)P在AB上，CP交OB于點(diǎn)Q，函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q，若S_△BPQ=$\frac{1}{4}$S_△OQC，則k的值為（　�。�

• A． -12
• B． 12
• C． 16
• D． 18

Answer 1

分析 由PB∥OC可得出△PBQ∽△COQ，結(jié)合三角形面積比等于相似比的平方可得出PB=PA=$\frac{1}{2}$OC，結(jié)合正方形OABC的邊長(zhǎng)為6可得出點(diǎn)C、點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出直線CP的函數(shù)解析式，聯(lián)立直線OB與直線CP的函數(shù)解析式即可得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出k值．

解答 解：∵PB∥OC（四邊形OABC為正方形），
∴△PBQ∽△COQ，
∴$\frac{{S}_{△BPQ}}{{S}_{△OQC}}$=$（\frac{PB}{OC}）^{2}$=$\frac{1}{4}$，
∴PB=PA=$\frac{1}{2}$OC=3．
∵正方形OABC的邊長(zhǎng)為6，
∴點(diǎn)C（0，6），點(diǎn)P（6，3），直線OB的解析式為y=x①，
∴設(shè)直線CP的解析式為y=ax+6，
∵點(diǎn)P（6，3）在直線CP上，
∴3=6a+6，解得：a=-$\frac{1}{2}$，
故直線CP的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+6②．
聯(lián)立①②得：$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-\frac{1}{2}x+6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4，4）．
將點(diǎn)Q（4，4）代入y=$\frac{k}{x}$中，得：
4=$\frac{k}{4}$，解得：k=16．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方結(jié)合給定條件求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式即可．