Question

12．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，△ABE，△AFC是等腰直角三角形，AB=5，AC=3，求EF長．

Answer 1

分析 在直角三角形ABC中，由AC與AB的長，利用勾股定理求出BC的長，延長FA，過E作延長線的垂線，垂足為D，利用同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，且AE=AB，利用AAS得到三角形AED與三角形ABC全等，利用全等三角形對應邊相等得到ED=BC，AD=AC，求出DF的長，在直角三角形EDF中，利用勾股定理求出EF的長即可．

解答 解：在Rt△ABC中，AB=5，AC=3，
根據(jù)勾股定理得：BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=4，
延長FA，過E作延長線的垂線，垂足為D，
∴∠EAD+∠AED=90°，
∵∠FAC=∠ACB=90°，
∴∠DAC=90°，AD∥BC，
∴∠DAB=∠ABC，
∵∠EAD+∠BAD=90°，
∴∠EAD+∠ABC=90°，
∴∠AED=∠ABC，
在△AED和△ABC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠ABC}\\{∠D=∠ACB=90°}\\{AE=AB}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△ABC（AAS），
∴ED=BC=4，AD=AC=3，
在Rt△EDF中，ED=4，DF=AD+AF=3+3=6，
根據(jù)勾股定理得：EF=$\sqrt{E{D}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{13}$．

點評 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關鍵．