Question

如圖（1），在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于A（-1，0），B（3，0），與y軸交于C（0，3），頂點(diǎn)為D（1，4），對(duì)稱(chēng)軸為DE．
（1）拋物線的解析式是

 

；
（2）如圖（2），點(diǎn)P是AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P′是P關(guān)于DE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接PE，過(guò)P′作P′F∥PE交x軸于F．設(shè)S_{四邊形EPP′P}=y，EF=x，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求y的最大值；
（3）在（1）中的拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使△BCQ成為以BC為直角邊的直角三角形？若存在，求出Q的坐標(biāo)；若不存在．請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C可求得c=3，再根據(jù)拋物線經(jīng)過(guò)A，B點(diǎn)，即可求得a、b的值，即可解題；
（2）令PP′交DE于G，易證四邊形FEPP′是平行四邊形，可得PP′=EF，易證△DPP′∽△DAB，可得

PP′

AB

=

DE-GE

DE

，設(shè)EF=x，可得GE=4-x，即可求得y關(guān)于x的二次函數(shù)解析式，求得最大值即可解題；
（3）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)Q（x，y），作OH⊥BC于H，易證Rt△BCQ的另一直角邊所在的直線可以由直線OH向上或向右平移3個(gè)單位得到，即可求得過(guò)Q點(diǎn)直線的解析式，即可解題．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，
則c=3，
∵拋物線經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，∴

9a+3b+3=0 a-b+3=0

解得：a=-1，b=2，
故答案為 y=-x²+2x+3；
（2）令PP′交DE于G，

∵PP′∥AF，PE∥FP′，
∴四邊形FEPP′是平行四邊形，
∴PP′=EF，
∴△DPP′∽△DAB，
∴

PP′

AB

=

DE-GE

DE

，
又∵A（-1，0）、B（3，0）、D（1，4），EF=x，
∴AB=4，DE=4，PP′=x，
∴

x

4

=

4-GE

4

∴GE=4-x，
又∵S_{四邊形EPP'F}=EF•GE，
∴y=x（4-x）
∴y=x（4-x）=-（x-2）²+4，x=2時(shí)，y的最大值是4．
（3）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)Q（x，y），
作OH⊥BC于H，
∵Rt△BCQ中BC是直角邊，
∴Rt△BCQ的另一直角邊與OH平行．
又∵OC=OB，CO⊥OB，OB=3，OC=3，
∴Rt△BCQ的另一直角邊所在的直線可以由直線OH向上或向右平移3個(gè)單位得到（如圖）．

由已知得直線OH的解析式是y=x，
∴Rt△BCQ的另一直角邊所在的直線解析式是：y=x+3或 y=x-3
①點(diǎn)Q為直線y=x+3和拋物線交點(diǎn)，
則

y=x+3 y=-x2+2x+3

，
解得：x=1，
∴y=4；
②點(diǎn)Q為直線y=x-3和拋物線交點(diǎn)，
則

y=x-3 y=-x2+2x+3

，
解得：x=-2，
∴y=-5，
∴存在滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)是：（1，4）和（-2，-5）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線解析式的求解，考查了二次函數(shù)最值的求解，考查了拋物線和直線交點(diǎn)的求解，本題中正確求得拋物線解析式是解題的關(guān)鍵．