Question

在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，F(xiàn)是線段BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CF=AE，連接BE、EF．
（1）若E是線段AC的中點(diǎn)，如圖1，易證：BE=EF（不需證明）；
（2）若E是線段AC或AC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)，其它條件不變，如圖2、圖3，線段BE、EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的猜想；并選擇一種情況給予證明．

Answer 1

證明：（1）∵四邊形ABCD為菱形， ∴AB=BC， 又∵∠ABC=60°， ∴△ABC是等邊三角形， ∵E是線段AC的中點(diǎn)， ∴∠CBE=∠ABC=30°，AE=CE， ∵AE=CF， ∴CE=CF， ∴∠F=∠CEF， ∵∠F+∠CEF=∠ACB=60°， ∴∠F=30°， ∴∠CBE=∠F， ∴BE=EF； （2）圖2：BE=EF．圖3：BE=EF． 圖2證明如下： 過點(diǎn)E作EG∥BC，交AB于點(diǎn)G， ∵四邊形ABCD為菱形， ∴AB=BC， 又∵∠ABC=60°， ∴△ABC是等邊三角形， ∴AB=AC，∠ACB=60°， 又∵EG∥BC， ∴∠AGE=∠ABC=60°， 又∵∠BAC=60°， ∴△AGE是等邊三角形， ∴AG=AE， ∴BG=CE， 又∵CF=AE， ∴GE=CF， 又∵∠BGE=∠ECF=120°， ∴△BGE≌△ECF（SAS）， ∴BE=EF； 圖3證明如下： 過點(diǎn)E作EG∥BC交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)G， ∵四邊形ABCD為菱形， ∴AB=BC， 又∵∠ABC=60°， ∴△ABC是等邊三角形， ∴AB=AC，∠ACB=60°， 又∵EG∥BC， ∴∠AGE=∠ABC=60°， 又∵∠BAC=60°， ∴△AGE是等邊三角形， ∴AG=AE， ∴BG=CE， 又∵CF=AE， ∴GE=CF， 又∵∠BGE=∠ECF=60°， ∴△BGE≌△ECF（SAS）， ∴BE=EF．

圖2 圖3