Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-2x+2與x軸正半軸交與點C，與y軸正半軸交于點A，以AC為直角邊，點C為直角頂點作一個等腰直角三角形ABC，拋物線y=ax²-ax-2經過點B，點M是直線BC上一個動點（點M可與B、C重合），過點M作y軸的平行線交拋物線于點N．
（1）求經過點B的反比例函數解析式．
（2）求BC所在直線的解析式．
（3）當點M在線段BC上運動時，線段MN的長度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵y=-2x+2，
∴當x=0時，y=2，即A點坐標為（0，2），
當y=0時，x=1，即C點坐標為（1，0）．
過點B作BD⊥x軸，垂足為D．
在△BCD與△CAO中，
，
∴△BCD≌△CAO，
∴BD=CO=1，CD=AO=2，
∴B點坐標為（3，1），
∴經過點B的反比例函數解析式為y=；

（2）設直線BC的解析式為y=kx+b，
將B（3，1），C（1，0）代入，
得，解得，
∴直線BC的解析式為y=x-；

（3）∵拋物線y=ax²-ax-2經過點B（3，1），
∴9a-3a-2=1，解得a=，
∴拋物線的解析式為y=x²-x-2．
∵MN∥y軸，∴可設M（x，y₁），N（x，y₂），
∵點M在線段BC上，∴y₁=x-，
N在拋物線上，∴y₂=x²-x-2，
∴MN=y₁-y₂
=（x-）-（x²-x-2）
=-x²+x+
=-（x-1）²+2，
∵-＜0，
∴當x=1時，線段MN的長度有最大值2．
分析：（1）先由直線AC的解析式為y=-2x+2，求出與y軸交點A、與x軸交點C的坐標，再過點B作BD⊥x軸于點D，利用AAS證明△BCD≌△CAO，根據全等三角形對應邊相等得出BD=CO=1，CD=AO=2，則B點坐標為（3，1），進而得到經過點B的反比例函數的解析式；
（2）設直線BC的解析式為y=kx+b，將B，C兩點的坐標代入，運用待定系數法即可求出直線BC的解析式為y=x-；
（3）先將點B的坐標代入y=ax²-ax-2，求出拋物線的解析式為y=x²-x-2，再由MN∥y軸，設M（x，y₁），N（x，y₂），由點M在線段BC上，得出y₁=x-，由點N在拋物線上，得出y₂=x²-x-2，則MN=y₁-y₂=-（x-1）²+2，根據二次函數的性質，即可求出線段MN的長度的最大值．
點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有運用待定系數法求反比例函數、一次函數、二次函數的解析式，全等三角形的判定與性質，平行于坐標軸上的點的坐標特征，二次函數最值的求法，綜合性較強，難度中等．本題第（3）問中，在設出M（x，y₁），N（x，y₂）兩點的坐標之后，用含x的代數式表示MN的長度是解題的關鍵．