Question

已知M，N為正整數(shù)，并且A=（1-）（1+）（1-）（1+）…（1-）（1+），B=（1-）（1+）（1-）（1+）…（1-）（1+）．
證明：（1）A=，B=．
（2）A-B=，求m和n的值．

Answer 1

解：（1）原式=××××…××=-=；
同理得B=；
（2）∵A-B=，
∴-=，
∴=，
∵m，n均為正整數(shù)，
∴n＞m，
∵n-m與mn互質(zhì)，13又是質(zhì)數(shù)，
∴m，n中至少有一個是13的倍數(shù)，設(shè)n=13k（k∈N⁺）
∴=，
13k-m=km，
m===13-，
∵k與k+1互質(zhì)，m∈N⁺，
∴有k+1整除13，得到：k=12，
∴n=13×12=156，m=12，
當(dāng)m=13k時，n=＜0（k∈N⁺），矛盾．
∴n=156，m=12．
分析：（1）每個括號的結(jié)果都是一個分數(shù)，這幾個分數(shù)相乘后，只剩下第一個和最后一個分數(shù)沒有化簡，相乘即可，依此方法可得B的值；
（2）根據(jù)（1）得到的規(guī)律，得到關(guān)于m，n的式子，易得m，n中有一個是13的倍數(shù)，根據(jù)互質(zhì)的原則判斷出相應(yīng)的整數(shù)解即可．
點評：考查數(shù)字的變化規(guī)律及應(yīng)用規(guī)律進行計算；判斷出各個數(shù)相乘的結(jié)果最后只剩第一個分數(shù)與最后一個分數(shù)相乘，是解決本題的突破點；判斷出m，n中有一個數(shù)是13的倍數(shù)是解決本題的難點．