Question

如圖1，l₁，l₂，l₃，l₄是一組平行線，相鄰2條平行線間的距離都是1個單位長度，正方形ABCD的4個頂點A，B，C，D都在這些平行線上．過點A作AF⊥l₃于點F，交l₂于點H，過點C作CE⊥l₂于點E，交l₃于點G．
（1）求證：△ADF≌△CBE；
（2）求正方形ABCD的面積；
（3）如圖2，如果四條平行線不等距，相鄰的兩條平行線間的距離依次為h₁，h₂，h₃，試用h₁，h₂，h₃
表示正方形ABCD的面積S．

Answer 1

解：（1）證明：在Rt△AFD和Rt△CEB中，
∵AD=BC，AF=CE，∴Rt△AFD≌Rt△CEB（HL）。
（2）∵∠ABH+∠CBE=90°，∠ABH+∠BAH=90°，∴∠CBE=∠BAH。
又∵AB=BC，∠AHB=∠CEB=90°，∴△ABH≌△BCE（AAS）。
同理可得，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF。
∴S_{正方形ABCD}=4S_△ABH+S_{正方形HEGF}=4××2×1+1+1=5。
（3）由（1）知，△AFD≌△CEB，故h₁=h₃，
由（2）知，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，
∴S_{正方形ABCD}=4S_△ABH+S_{正方形HEGF}=4×（h₁+h₂）•h₁+h₂²=2h₁²+2h₁h₂+h₂²．

解析