Question

1．如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，將△ABC繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△EDC，此時(shí)點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)D恰好落在邊AB上，連接AE，則AE的長為$\frac{12}{5}$．

Answer 1

分析 根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出BC=CD=3，DE=AB=5，AC=CE=4，∠BAC=∠DEC，∠BCA=∠DCE=90°，根據(jù)相似三角形的判定得出△BCD∽△ACE，求出AE=$\frac{4}{3}$BD，根據(jù)勾股定理求出BD，即可求出答案．

解答 解：由勾股定理得：AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，將△ABC繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△EDC，此時(shí)點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)D恰好落在邊AB上，
∴BC=CD=3，DE=AB=5，AC=CE=4，∠BAC=∠DEC，∠BCA=∠DCE=90°，
∴∠BCD=∠ACE，$\frac{AC}{BC}$=$\frac{CE}{CD}$=$\frac{4}{3}$，
∴△BCD∽△ACE，
∴$\frac{AE}{BD}$=$\frac{4}{3}$，
設(shè)BD=x，則AE=$\frac{4}{3}$x，
∵∠BAC=∠DEC，
∴A、D、C、E四點(diǎn)共圓，
∴∠BAE=180°-∠DCE=90°，
在Rt△DAE中，由勾股定理得：AD²+AE²=DE²，
（5-x）²+（$\frac{4}{3}$x）²=5²，
解得：x=$\frac{9}{5}$，
AE=$\frac{4}{3}$x=$\frac{12}{5}$，
故答案為：$\frac{12}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)，能求出AE=$\frac{4}{3}$BD是解此題的關(guān)鍵．