Question

1．已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（6，8）及點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)Q．
（1）求證：該拋物線一定與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
（2）設(shè)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A，B，與y軸的交點(diǎn)為C，連接AC，BC，設(shè)∠CBA=α，∠CAB=β，是否滿足tanα=tanβ的拋物線？如果存在，求出它的解析式，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）求出點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)Q的坐標(biāo)，把點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)代入解析式，用a不是b、c，根據(jù)判別式判斷拋物線與x軸的交點(diǎn)情況；
（2）根據(jù)tanα=tanβ，得到OA和OB的關(guān)系，進(jìn)行判斷即可．

解答 解：（1）點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-6，-8），
$\left\{\begin{array}{l}{36a+6b+c=8}\\{36a-6b+c=-8}\end{array}\right.$，
解得c=-36a，b=$\frac{4}{3}$，
∴解析式為：y=ax²+$\frac{4}{3}$x-36a，
△=$\frac{16}{9}$+144a²＞0，
∴拋物線一定與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
（2）∵tanα=tanβ，
∴OA=OB，
x₁+x₂=-$\frac{4}{3a}$=0，無(wú)解，
∴拋物線不存在．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)的求法，掌握關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系和判別式是解題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想在解題中的運(yùn)用．