Question

15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，6），B（8，0）．點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿AO運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q從O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿OB運(yùn)動(dòng)，當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．
（1）求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的取值范圍；
（2）t為何值時(shí)，Rt△POQ與Rt△AOB相似？

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)Q從O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿OB運(yùn)動(dòng)，當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，可得：2t=8，解得：t=4，進(jìn)而可得：0≤t≤4；
（2）分兩種情況討論：①Rt△POQ∽R(shí)t△AOB；②Rt△QOP∽R(shí)t△AOB，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求出相應(yīng)的t的值．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（0，6），B（8，0），
∴OA=6，OB=8，
∵點(diǎn)Q從O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿OB運(yùn)動(dòng)，當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，
∴2t=8，
解得：t=4，
∴0≤t≤4；

（2）①若Rt△POQ∽R(shí)t△AOB時(shí)，
∵Rt△POQ∽R(shí)t△AOB，
∴$\frac{PO}{AO}$=$\frac{OQ}{OB}$，
即$\frac{6-t}{6}$=$\frac{2t}{8}$，
解得：t=$\frac{12}{5}$；
②若Rt△QOP∽R(shí)t△AOB時(shí)，
∵Rt△QOP∽R(shí)t△AOB，
∴$\frac{OQ}{AO}$=$\frac{OP}{OB}$，
即$\frac{2t}{6}$=$\frac{6-t}{8}$，
解得：t=$\frac{18}{11}$．
所以當(dāng)t為$\frac{12}{5}$或$\frac{18}{11}$時(shí)，Rt△POQ與Rt△AOB相似．

點(diǎn)評(píng) 此題是一次函數(shù)的綜合題型，主要考查了三角形的面積，二次函數(shù)的最值，相似三角形的判定與性質(zhì)，第（2）問(wèn)的解題的關(guān)鍵是：分兩種情況討論：①Rt△POQ∽R(shí)t△AOB；②Rt△QOP∽R(shí)t△AOB．