Question

某公司生產(chǎn)的某種商品每件成本為20元，經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種商品在未來40天內(nèi)的日銷售量m（件）與時(shí)間t（天）滿足一次函數(shù)且關(guān)系如下表：

時(shí)間t（天）	1	3	6	10	36	…
日銷售量m（件）	94	90	84	76	24	…

未來40天內(nèi)，每天的銷售價(jià)格y（元）與時(shí)間t（天）的函數(shù)關(guān)系式如下：

每天的銷售價(jià)格y（元）	當(dāng)1≤t≤20時(shí)，y1= 1 4 t+25
	當(dāng)20＜t≤40時(shí)，y2= 1 2 t+40

（1）求日銷售量m（件）與時(shí)間t（天）的函數(shù)關(guān)系；
（2）請(qǐng)預(yù)測(cè)未來40天中哪一天的日銷售利潤(rùn)最大，最大日銷售利潤(rùn)是多少；
（3）在實(shí)際銷售的前20天中，該公司決定每銷售一件商品就捐贈(zèng)a元（a＜4）給希望工程，公司通過銷售記錄發(fā)現(xiàn)，前20天中，每天扣除捐贈(zèng)后的日銷售利潤(rùn)隨時(shí)間t（天）的增大而增大，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用

專題：

分析：（1）從表格可看出每天比前一天少銷售2件，所以判斷為一次函數(shù)關(guān)系式；
（2）日利潤(rùn)=日銷售量×每件利潤(rùn)，據(jù)此分別表示前20天和后20天的日利潤(rùn)，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求最大值后比較得結(jié)論；
（3）列式表示前20天中每天扣除捐贈(zèng)后的日銷售利潤(rùn)，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求a的取值范圍．

解答：解：（1）經(jīng)分析知：m與t成一次函數(shù)關(guān)系．設(shè)m=kt+b（k≠0），
將t=1，m=94，t=3，m=90
代入

94=k+b 90=3k+b

，
解得

k=-2 b=96

，
∴m=-2t+96；

（2）前20天日銷售利潤(rùn)為P₁元，后20天日銷售利潤(rùn)為P₂元，
則P₁=（-2t+96）（

1

4

t+25-20）=-

1

2

（t-14）²+578，
∴當(dāng)t=14時(shí)，P₁有最大值，為578元．
P₂=（-2t+96）•（

1

2

t+40-20）=-t²+8t+1920
∵當(dāng)21≤t≤40時(shí)，P₂隨t的增大而減小，
∴t=21時(shí)，P₂有最大值，為1647元．
∵1647＞578，
∴第21天日銷售利潤(rùn)最大．

（3）P₁=（-2t+96）（

1

4

t+25-20-a）=-

1

2

t²+（14+2a）t+480-96a，
對(duì)稱軸t=14+2a，
∵a=-

1

2

，只有當(dāng)t≤2a+14時(shí)，P隨t的增大而增大
又∵每天扣除捐贈(zèng)后的日利潤(rùn)隨時(shí)間t的增大而增大，
故：20≤2a+14
∴a≥3，
即a≥3時(shí)，P₁隨t的增大而增大，
又∵a＜4，
∴4＞a≥3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）熟練掌握各函數(shù)的性質(zhì)和圖象特征，針對(duì)所給條件作出初步判斷后需驗(yàn)證其正確性；（2）最值問題需由函數(shù)的性質(zhì)求解時(shí)，正確表達(dá)關(guān)系式是關(guān)鍵．同時(shí)注意自變量的取值范圍．