Question

6．直角三角形有一個(gè)非常重要的性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，比如：如圖1，Rt△ABC中，∠C=90°，D為斜邊AB中點(diǎn)，則CD=AD=BD=$\frac{1}{2}$AB．請(qǐng)你利用該定理和以前學(xué)過的知識(shí)解決下列問題：
如圖2，在△ABC中，點(diǎn)P為BC邊中點(diǎn)，直線a繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，若B、P在直線a的異側(cè)，BM⊥直線a于點(diǎn)M，CN⊥直線a于點(diǎn)N，連接PM、PN；
（1）求證：PM=PN；
（2）若直線a繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，點(diǎn)B、P在直線a的同側(cè)，其它條件不變，此時(shí)PM=PN還成立嗎？若成立，請(qǐng)給予證明：若不成立，請(qǐng)說明理由；
（3）如圖4，∠BAC=90°，a旋轉(zhuǎn)到與BC垂直的位置，E為BC上一點(diǎn)且AE=AC，EN⊥a于N，連接EC，取EC中點(diǎn)P，連接PM，PN，求證：PM⊥PN．

Answer 1

分析 （1）如圖2中，延長(zhǎng)NP交BM的延長(zhǎng)線于G．只要證明△PNC≌△PGB，推出PN=PG，再根據(jù)直角三角形斜邊中線定理即可證明．
（2）結(jié)論：PM=PN．延長(zhǎng)NP交BM于G，證明方法類似（1）．
（3）如圖4中，延長(zhǎng)NP交BM于G．先證明△EAN≌△CAM，推出EN=AM，AN=CM，再證明△ENP≌△CGP，推出EN=CG=AM，PN=PG，因?yàn)锳N=CM，所以MG=MN，即可證明PM⊥PN．

解答 （1）證明：如圖2中，延長(zhǎng)NP交BM的延長(zhǎng)線于G．

∵BM⊥AM，CN⊥AM，
∴BG∥CN，
∴∠PCN=∠PBG，
在△PNC和△PGB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PCN=∠PBG}\\{∠CPN=∠GPB}\\{PC=PB}\end{array}\right.$，
∴△PNC≌△PGB，
∴PN=PG，
∵∠NMG=90°，
∴PM=PN=PG．

（2）解：結(jié)論：PM=PN．
如圖3中，延長(zhǎng)NP交BM于G．

∵BM⊥AM，CN⊥AM，
∴BM∥CN，
∴∠PCN=∠PBG，
在△PNC和△PGB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PCN=∠PBG}\\{∠CPN=∠GPB}\\{PC=PB}\end{array}\right.$，
∴△PNC≌△PGB，
∴PN=PG，
∵∠NMG=90°，
∴PM=PN=PG．

（3）如圖4中，延長(zhǎng)NP交BM于G．

∵∠EAN+∠CAM=90°，∠CAM+∠ACM=90°，
∴∠EAN=∠ACM，
在△EAN和△CAM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ENA=∠AMC=90°}\\{∠EAN=∠ACM}\\{AE=AC}\end{array}\right.$，
∴△EAN≌△CAM，
∴EN=AM，AN=CM，
∵EN∥CG，
∴∠ENP=∠CGP，
在△ENP和△CGP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ENP=∠CGP}\\{∠EPN=∠CPG}\\{EP=PC}\end{array}\right.$，
∴△ENP≌△CGP，
∴EN=CG=AM，PN=PG，
∵AN=CM，
∴MG=MN，
∴PM⊥PN．

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何變換綜合題、直角三角形斜邊中線性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．