Question

如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，AD是△ABC的角平分線，BE⊥AD于點E，AB=6，AC=10，則DE=

 

．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),三角形中位線定理

專題：

分析：如圖，作輔助線；求出線段BE、CF、BG的長度；運用S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD，求出AD的長度，即可解決問題．

解答：解：如圖，過點B作BG⊥AC于點G；
過點C作CF⊥AD，交AD的延長線于點F；
∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，BE⊥AE，
∴∠BAE=30°，BE=

1

2

AB=3，AE=3

3

，BG=AB•sin60°=3

3

；
由角平分線的性質(zhì)得：

BD

CD

=

AB

AC

=

6

10

①；
∵BE⊥EF，CF⊥EF，
∴BE∥CF，△BDE∽△CDF，
∴

BE

CF

=

BD

CD

②，聯(lián)立①②并求得：CF=5；
∵S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD，
∴

1

2

AC•BG=

1

2

AD•BE+

1

2

AD•CF，
∴AD=

15 3

4

，DE=AD-AE=

15 3

4

-3

3

=

3 3

4

，
故答案為：

3 3

4

．

點評：該題主要考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)、直角三角形的邊角關系等幾何知識點及其應用問題；解題的關鍵是作輔助線，構造相似三角形，借助三角形的面積公式來分析、解答．