Question

16．如圖，在菱形ABCD中，E為BC上一點，AE交BD于F，AB=AE，BE=AF．
（1）求證：△ADF≌△EAB；
（2）求∠DAB，∠ABC，∠C，及∠ADC的度數(shù)各是多少．

Answer 1

分析 （1）由菱形的性質(zhì)可得AD=AB，AD∥BC，再結(jié)合已知條件可得AD=AE，∠DAF=∠AEB，進(jìn)而由全等三角形的判定方法（SAS）即可證明△ADF≌△EAB；
（2）由（1）可知∠ADF=∠BAE，由菱形的性質(zhì)可得∠ABF=∠ADB=∠DBC，設(shè)∠BAE=x，在△ABE中由三角形內(nèi)角和定理可得關(guān)于x的方程，解方程可求出∠BAE的度數(shù)，進(jìn)而∠DAB，∠ABC，∠C，及∠ADC的度數(shù)都可求出．

解答 （1）證明：
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=AB，AD∥BC，
∴∠DAF=∠AEB，
∵AB=AE，
∴AE=AD，
在△ADF和△EAB中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=EA}\\{∠DAF=∠BEA}\\{AF=BE}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△EAB；
（2）
∵△ADF≌△EAB，
∴∠ADF=∠BAE，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠ABF=∠ADB=∠DBC，
設(shè)∠BAE=x，
∴∠ABE=∠AEB=2x，
△ABE中由三角形內(nèi)角和定理可得：x+2x+2x=180°，
解得：x=36°，
∴∠ABC=∠ADC=72°，
∴∠DAB=∠C=108°．

點評 本題考查了菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并列出關(guān)于∠BAE的方程是解題的關(guān)鍵．