Question

如圖，正方形ABCO的邊長為4，D為OC邊的中點(diǎn)，將△DCB沿直線BD對折，C點(diǎn)落在M處，BM的延長線交OA于點(diǎn)E,OA，OC分別在x軸和y軸的正半軸上.

（1）求線段OE的長；

（2）求經(jīng)過D,E兩點(diǎn)，對稱軸為直線x=2的拋物線的解析式；

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使四邊形P、E、D、B為頂點(diǎn)的四邊形是梯形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

1）解：∵四邊形ABCO為正方形，D為OC的中點(diǎn)，

         ∴OA=AB=BC=CO=4，OD=DC=2,

           ∠BCO=COA=∠OAB=90°

         ∵△BCD與△BMD關(guān)于BD對稱，

          ∴△BCD≌△BMD

           ∴∠DMB=∠BCD=90°,DM=DC=DO=2

             ∠CDB=∠MDB

             ∵DE=DE

        ∴Rt△DOE≌Rt△DME

           ∴∠ODE=∠MDE

           ∴∠ODE+∠BCD=180°÷2=90°

          而∠BCD+∠CBD=90°

              ∴∠ODE=∠CBD

            ∴Rt△CBD∽R(shí)t△ODE

            ∴

            ∴     

    (2)有（1）知，D(0,2),E(1,0),設(shè)過D,E兩點(diǎn)，對稱軸為直線的拋物線的解析式為：，得

             解之得 

           ∴      

    （3）存在點(diǎn)P，使以P、E、D、B為頂點(diǎn)的四邊形是梯形，分三種情況討論：

          ①當(dāng)PE∥BD，PE≠BD時(shí)，四邊形PEDB是梯形.

              設(shè)直線PE交軸于點(diǎn)F，易證Rt△DEO∽R(shí)t△EOF

            可得，OF=,∴F(0，)

      過E,F兩點(diǎn)，用待定系數(shù)法可求直線PE 的解析式為：

         當(dāng)，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，） 

        ②當(dāng)PD∥BE,PD≠BE時(shí)，四邊形PDEB為梯形.

             設(shè)直線PD交軸于點(diǎn)G

∵PD∥DE，∴∠GDE=∠DEB

∵∠DEG=∠DEB  ∴∠GDE=∠DEG

∴GD=GE,設(shè)OG=，在Rt△DGO中，

,OD=2，OE=1，

易求 ，∴G(-)

過D,G兩點(diǎn)用待定系數(shù)法可求直線PD 的解析式為:

當(dāng)，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，）；

        ③當(dāng)PB∥DE,PB≠DE時(shí)，四邊形PDEB為梯形.

             設(shè)直線PD交軸于點(diǎn)H,

 ∵PB∥DE，∴∠DEB=∠EBH, ∠DEO=∠BH0,

∵∠DEO=∠DEB, ∴∠EBH=∠EHB,

∴EB=EH,

在Rt△ABE中，AE=AO-OE=4-1=3，AB=4，

    ∴BE=5=EH,  ∴OH=OE+EH=1+5=6

∴H(6,0)

過B,H兩點(diǎn)用待定系數(shù)法可求直線PD 的解析式為:

當(dāng)，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，8）；

綜上所述，符合條件的點(diǎn)P有三個(gè)，

其坐標(biāo)分別為（2，），（2，），（2，8）.