Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y=-2x+b（b≥0）的位置隨b的不同取值而變化，已知⊙M的圓心坐標(biāo)為（3，2），半徑為2，當(dāng)b=

 

時(shí)，直線l與⊙M相切．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,一次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：先求出直線y=-2x+b與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，b），B點(diǎn)坐標(biāo)為（

b

2

，0），再計(jì)算出當(dāng)直線y=-2x+b過點(diǎn)M時(shí)與y軸的交點(diǎn)D的坐標(biāo)（0，8），如圖，作MF⊥AB于F，AE⊥DC于E，根據(jù)切線的性質(zhì)得MF=2，則AE=MF=2，再證明△OAB∽△EDA，利用相似比得到

5 b 2

8-b

=

1 2 b

2

，解得b=8-2

5

，利用直線平移的方法可得當(dāng)b=8+2

5

時(shí)，直線y=-2x+b與⊙M相切．

解答：解：當(dāng)x=0時(shí)，y=-2x+b=b，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，b）；當(dāng)y=0時(shí)，-2x+b=0，解得x=

b

2

，則B（

b

2

，0），
所以AB=

OA2+OB2

=

5

2

a，
當(dāng)直線y=-2x+b過點(diǎn)M時(shí)，把M（3，2）代入得-6+b=2，解得b=8，
則直線y=-2x+8與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，8），
當(dāng)AB與⊙M相切時(shí)，如圖，作MF⊥AB于F，AE⊥DC于E，則AE=MF=2，
∵CD∥AB，
∴△OAB∽△EDA，
∴

AB

AD

=

OB

AE

，即

5 b 2

8-b

=

1 2 b

2

，解得b=8-2

5

，
同樣可得當(dāng)b=8+2

5

時(shí)，直線y=-2x+b與⊙M相切．
故答案為8±2

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．在判定一條直線為圓的切線時(shí)，當(dāng)已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點(diǎn)時(shí)，常過圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長(zhǎng)等于半徑；當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，常連接過該公共點(diǎn)的半徑，證明該半徑垂直于這條直線．也考查了一次函數(shù)性質(zhì)．