Question

4．如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，E是AB延長線上一點，DE交對角線AC于點G．
（1）求證：DG²=GF•GE；
（2）求證：$\frac{G{C}^{2}}{G{A}^{2}}$=$\frac{GF}{GE}$．

Answer 1

分析 （1）運用平行四邊形的性質證明：△ADG∽△CFG，△DGC∽△EGA，列出比例式即可解決問題；
（2）由四邊形ABCD是平行四邊形，得到DC∥AE，證得△CDG∽△AGE，得到比例式，再平方，通過化簡即可得到結論．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，DC∥AE，
∴△ADG∽△CFG，△DGC∽△EGA，
∴DG：GF=AG：GC，GE：DG=AG：GC，
∴DG：GF=GE：DG，
即DG²=GE•GF；
證明：（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴DC∥AE，
∴△CDG∽△AGE，
∴$\frac{CG}{AG}$=$\frac{DG}{GE}$，
∴$\frac{C{G}^{2}}{A{G}^{2}}=\frac{D{G}^{2}}{G{E}^{2}}$，
由（1）證得DG²=GE•GF；
∴$\frac{C{G}^{2}}{A{G}^{2}}$=$\frac{GE•GF}{G{E}^{2}}$=$\frac{GF}{GE}$．

點評 本題考查了平行四邊形的性質、相似三角形的判定及其性質，運用平行四邊形的性質證明兩對相似三角形是解題的關鍵．