Question

如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC為斜邊向外作等腰直角三角形，其面積分別為S₁，S₂，S₃，且S₁+S₃=4S₂，若將梯形上底AB沿BC方向平移至下底CD上的CE處，連AE，則下列結(jié)論：
①AE∥BC；②AE=BC；③；④．
其中正確的結(jié)論的個數(shù)是

1. A.
   1個
2. B.
   2個
3. C.
   3個
4. D.
   4個

Answer 1

C
分析：①由平移的性質(zhì)，即可得AE∥BC；
②易得四邊形ABCE是平行四邊形，則可得AE=BC；
③分別用斜邊AD、AB、BC把S₁、S₂、S₃表示出來，然后根據(jù)S₁+S₃=4S₂求出AD、AB、BC之間的關系．可得△ADE是直角三角形，利用勾股定理即可發(fā)現(xiàn)CD和AB之間的關系．
④由③即可求得．
解答：解：①如圖，根據(jù)平移的性質(zhì)，可得AE∥BC，故①正確；
②∵AB∥CD，AE∥BC，
∴四邊形ABCE是平行四邊形，
∴AE=BC，故②正確；
③解：∵以AD、AB、BC為斜邊向外作等腰直角三角形，其面積分別是S₁、S₂、S₃，
∴S₁=，S₂=，S₃=，
∵S₁+S₃=4S₂，
∴AD²+BC²=4AB²，
∵AE=BC，EC=AB，
∵∠ADC+∠BCD=90°，
∴∠ADC+∠AED=90°，
∴AD²+AE²=DE²，
∴AD²+BC²=DE²，
∴DE²=4AB²，
∴DE=2AB，
∴CD=3AB．
∴，故③錯誤；
④∵AD²+BC²=4AB²，CD=3AB，
∴==5．
故④正確．
故選C．
點評：此題考查了梯形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及等腰直角三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用．