Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB=AC=10，BC=12，P是劣弧BC的中點，過點P作⊙O的切線交AB延長線于點D．
（1）求證：DP∥BC；
（2）求DP的長．

Answer 1

分析：（1）首先連接AP，易證得AP是直徑，然后過點A作AM⊥BC于點M，可得A，M，O，P四點共線，則可證得DP∥BC；
（2）在Rt△AMB中，由垂徑定理即可求得BM的長，由勾股定理即可求得AM的長，繼而求得∠BAM的正切值，然后由勾股定理得到方程r²=（8-r）²+6²，繼而求得答案．

解答：（1）證明：連接AP，
∵AB=AC，
∴

AB

=

AC

，
又∵P是劣弧BC的中點，
∴

BP

=

CP

，…（1分）
∴

ABP

=

ACP

，
∴AP為⊙O的直徑，
又∵DP為⊙O的切線，
∴AP⊥DP，…（2分）
過點A作AM⊥BC于點M，
∴M為BC中點，
∴AM必過圓心O，
即：A，M，O，P四點共線，
∴DP∥BC．…（3分）

（2）∵在Rt△AMB中，BM=

1

2

BC=

1

2

×12=6，
∴AM=

AB2-BM2

=

102-62

=8，
∴tan∠BAM=

BM

AM

=

3

4

，
在Rt△OMB中，設OB=r，
則由勾股定理得：r²=（8-r）²+6²，
解得：r=

25

4

，
∴AP=

25

2

，…（5分）
在Rt△APD中，DP=AP•tan∠DAP=

25

2

×

3

4

=

75

8

．…（6分）

點評：此題考查了切線的性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理以及三角函數(shù)等知識．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結合思想與方程思想的應用．