Question

直線AB平行于x軸，與y軸交于點A（0，a），AB=a，經(jīng)過原點的拋物線y=-x²+bx經(jīng)過點B，且與直線AB交于另一點C（在B的左邊），拋物線的頂點為P．
（1）求拋物線的解析式（用含a的代數(shù)式表示）；
（2）用含a的式子表示BC的長；
（3）當(dāng)a為何值時，△PCB是等腰直角三角形？當(dāng)a為何值時△PCB是等邊三角形？

Answer 1

解：（1）∵A（0，a），AB=a，
∴B點坐標為（a，a），
把B（a，a）代入y=-x²+bx得，a=-a²+ba，
∴b=a+1，
∴拋物線的解析式為y=-x²+（a+1）x；

（2）C點的縱坐標為a，令y=a，則a=-x²+（a+1）x，解得x₁=1，x₂=a，
∴C點坐標為（1，a），
∴BC的長=a-1；

（3）設(shè)拋物線的對稱軸交AB于D，連PB，PC，如圖，
拋物線的解析式為y=-x²+（a+1）x的頂點P的坐標為（，），
∴PD=-a=，
而BC=a-1，并且PC=PB，
當(dāng)△PCB是等腰直角三角形，
∴PD=BC，即=（a-1），解得a=3；
當(dāng)△PCB是等邊三角形，
∴PD=BC，即=（a-1），解得a=2+1，
所以當(dāng)a=3時，△PCB是等腰直角三角形；當(dāng)a=2+1時△PCB是等邊三角形．
分析：（1）先用a表示B點坐標，然后把B點坐標代入拋物線y=-x²+bx，則可用a表示出b；
（2）令y=a，代入（1）中求出的解析式，解方程可得到C點坐標，然后用B點的橫坐標減去C點的橫坐標即可得到BC的長；
（3）先根據(jù)拋物線的頂點公式得到頂點P的坐標，用a表示出AD；當(dāng)△PCB是等腰直角三角形，根據(jù)斜邊上的中線等于斜邊的一半得到PD=BC；當(dāng)△PCB是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的高等于邊長的倍得到PD=BC，這樣得到關(guān)于a的兩個方程，分別解方程即可得到a的值．
點評：本題考查了點在二次函數(shù)圖象上，則點的橫縱坐標滿足其解析式以及二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標（-，）．也考查了等腰直角三角形和等邊三角形的性質(zhì)．