Question

18．如圖，在△ABC中，AB=AC=1，BC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，在AC邊上截取AD=BC，連接BD．
（1）通過計(jì)算，判斷AD²與AC•CD的大小關(guān)系；
（2）求∠ABD的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）先求得AD、CD的長，然后再計(jì)算出AD²與AC•CD的值，從而可得到AD²與AC•CD的關(guān)系；
（2）由（1）可得到BD²=AC•CD，然后依據(jù)對應(yīng)邊成比例且夾角相等的兩三角形相似證明△BCD∽△ABC，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知∠DBC=∠A，DB=CB，然后結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可求得∠ABD的度數(shù)．

解答 解：（1）∵AD=BC，BC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴AD=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，DC=1-$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$．
∴AD²=$\frac{5+1-2\sqrt{5}}{4}$=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，AC•CD=1×$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$．
∴AD²=AC•CD．
（2）∵AD=BC，AD²=AC•CD，
∴BC²=AC•CD，即$\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{BC}$．
又∵∠C=∠C，
∴△BCD∽△ACB．
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CB}=1$，∠DBC=∠A．
∴DB=CB=AD．
∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC．
設(shè)∠A=x，則∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴x+2x+2x=180°．
解得：x=36°．
∴∠ABD=36°．

點(diǎn)評 本題主要考查的是相似三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，證得△BCD∽△ABC是解題的關(guān)鍵．