Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），直線l與x軸正半軸夾角為

30°，點(diǎn)B為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)C，使得AB=BC，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，交直線l于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作AE∥l交直線CD于點(diǎn)E．

（1）若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為6，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(______，_____)，DE的長(zhǎng)為        ；

（2）若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)大于3，則線段CF的長(zhǎng)度是否發(fā)生改變？若不變，請(qǐng)求出線段CF的長(zhǎng)度；若改變，請(qǐng)說明理由；

（3）連結(jié)BE，在點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)過程中，以OB為直徑的⊙P與△ABE某一邊所在的直線相切，請(qǐng)求出所

有滿足條件的DE的長(zhǎng)．

Answer 1

（1點(diǎn)C的坐標(biāo)為(______，_____)，DE的長(zhǎng)為        ；

   （1）C(9，) ,   DE=;      …………4分

（2）如圖（1），過點(diǎn)A作AM⊥x軸于M ，

  ∴∠OAM=90°,  ∠BOA=30°,

      ∴AM=OAtan∠BOA=．…………2分

  ∵B為AC的中點(diǎn)，

 ∴AB=BC  

又∵AM∥CF,

  ∴∠AMB=∠CFB ，∠MAB=∠FCB,

     ∴⊿ABM≌⊿CBF      

  ∴CF=AM=．

   ∴線段CF的長(zhǎng)度保持不變．   …………2分

（3）如圖1，過點(diǎn)B作BG⊥x軸于點(diǎn)G．

   易證， OB=2BG ,CD=2BG,

         ∴OB=CD．

(I)當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，⊙P只能與BE相切，如圖2．

  設(shè)DE=, 則OB=CD=．

     ∵⊙P與BE相切于點(diǎn)B，

     ∴OB⊥BE．    

     易得BF=EF=．

     ∴OF=OB+BF=．

    ∴OF=2DF,

    ∴=．

     解得．

        ∴ DE=．     …………2分

（II）當(dāng)點(diǎn)D在線段OA上時(shí)，

    ①若⊙P與直線AE相切，如圖3，

     易得，直線l與AE的距離是．

      ∴ OB=3．

      ∴ CD=3．

       ∴DE=2CF-CD=．    …………2分

②當(dāng)⊙P與AB相切，如圖4．

         ∴∠OBA=90°．

       ∴OB=OAtan∠OBA=.

       ∴CD=.

       ∴ DE=2CF-CD==．    …………1分

   (III)當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)O的左側(cè)時(shí)，⊙P只能與直線AE相切，如圖5

       ∵ 直線l與AE的距離是，

         ∴ OB=3．

        ∴ CD=3．

     ∴ DE=2CF+CD=．   

綜上所述，DE的長(zhǎng)為或或 ．  …………1分