Question

如圖，已知函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象經(jīng)過點A、B，點A的坐標為（1，2），過點A作AC∥y軸，AC=1（點C位于點A的下方），過點C作CD∥x軸，與函數(shù)的圖象交于點D，過點B作BE⊥CD，垂足E在線段CD上，連接OC、OD．
（1）求△OCD的面積；
（2）當BE=AC時，求CE的長；
（3）在軸上是否存在一點P，使得PA+PD最短？若P點存在，求出P點的坐標；若P點不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)圖象上的點滿足函數(shù)解析式，可得D點坐標，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案；
（2）根據(jù)BE的長，可得B點的縱坐標，根據(jù)點在函數(shù)圖象上，可得B點橫坐標，根據(jù)兩點間的距離公式，可得答案；
（3）存在；分兩種情況討論：①當P在x軸上時，作點D關于x軸的對稱點D′，連接AD′交x軸于P，PA+PD最小，∵PA+PD=AD′，根據(jù)勾股定理求出即可；②當P在y軸上時，作點A關于y軸的對稱點A′，連接A′D交y軸于P，PA+PD最小，∵PA+PD=A′D，根據(jù)勾股定理求出即可．

解答： 解：（1）∵y=

k

x

（x＞0）的圖象經(jīng)過點A（1，2），
∴k=2，
∵AC∥y軸，AC=1，
∴點C的坐標為（1，1），
∵CD∥x軸，點D在函數(shù)圖象上，
∴點D的坐標為（2，1），
∴S△OCD=

1

2

×1×1=

1

2

；
（2）∵BE=

1

2

AC，
∴BE=

1

2

，
∵BE⊥CD，
∴點B的縱坐標=2-

1

2

=

3

2

，
由反比例函數(shù)y=

2

x

，
得點B的橫坐標為x=2÷

3

2

=

4

3

，
∴CE=

4

3

-1=

1

3

；
（3）存在；分兩種情況討論：如圖所示：
①當P在x軸上時，作點D關于x軸的對稱點D′（2，1），
連接AD′交x軸于P，PA+PD最小；
∵PD′=PD，
∴PA+PD=AD′，
設直線AD′的解析式為y=kx+b，
把點A（1，2），D′（2，-1）代入得：

k+b=2 2k+b=-1

，
解得：k=-3，b=5，
∴y=-3x+5，
當y=0時，x=

5

3

，
∴P（

5

3

，0）；
②當P在y軸上時，作點A關于y軸的對稱點A′（-1，2），
連接A′D交y軸于P，PA+PD最小；
∵PA=PA′，
∴PA+PD=A′D，
設直線A′D的解析式為y=ax+c，
把A′（-1，2），D（2，1）代入得：

-a+c=2 2a+c=1

，
解得：a=-

1

3

，c=

5

3

，
∴y=-

1

3

x+

5

3

，
當x=0時，y=

5

3

，
∴P（0，

5

3

）；
綜上所述：點P坐標為（

5

3

，0）或（0，

5

3

）．

點評：本題考查了反比例函數(shù)k的幾何意義以及最短路程問題；利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式，圖象上的點滿足函數(shù)解析式；通過作對稱點找出滿足最短路程的點是解決（3）的關鍵．