Question

14．如圖，已知在△ABC中，∠A=90°．
（1）請用圓規(guī)和直尺作出⊙P，使圓心P在AC邊上，且與AB，BC兩邊都相切；（保留作圖痕跡，不寫作法和證明） 
（2）若∠B=60°，AB=6，則⊙P的面積為12π．

Answer 1

分析 （1）作角B的平分線，與AC的交點就是圓心P，此時⊙P與AB，BC兩邊都相切；
如圖，作BC的垂線PD，證明PD和半徑相等即可，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得：PA=PD．
（2）根據(jù)角平分線得∠PBA=30°，根據(jù)30°角的正切求圓P的半徑AP的長，代入面積公式可以求⊙P的面積．

解答 解：（1）作法：①作∠ABC的平分線BP，交AC于P，
②以P為圓心，以PA為半徑作圓，
則⊙P就是符合條件的圓；
證明：過P作PD⊥BC于D，
∵∠BAC=90°，
∴⊙P與AB相切，
∵BP平分∠ABC，
∴AP=PD
∵⊙P的半徑是PA，
∴PD也是⊙P的半徑，即⊙P與BC也相切；
（2）∵∠ABC=60°，BP平分∠ABC，
∴∠ABP=30°，
∴tan30°=$\frac{PA}{AB}$，
∴PA=AB•tan30°=6×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=2$\sqrt{3}$，
∴⊙P的面積=π×（2$\sqrt{3}$）²=12π，
故答案為：12π．

點評 本題考查了切線的判定和圓的作圖題，切線必須滿足兩個條件：a、經(jīng)過半徑的外端；b、垂直于這條半徑，否則就不是圓的切線．掌握切線的判定方法：①無交點，作垂線段，證半徑；②有交點，作半徑，證垂直；本題利用了第①種判定方法．