Question

如圖，▱ABCD中，AB＞AD，AE，BE，CM，DM分別為∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的平分線，AE與DM相交于點F，BE與CM相交于點H，連接EM．若▱ABCD的周長為42cm，F(xiàn)M=3cm，EF=4cm，則EM=　　cm，AB=　　cm．

Answer 1

5. 13

解：∵AE為∠DAB的平分線，

∴∠DAE=∠EAB=∠DAB，

同理：∠ABE=∠CBE=∠ABC，

∠BCM=∠DCM=∠BCD，

∠CDM=∠ADM=∠ADC．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠DAB=∠BCD，∠ABC=∠ADC，AD=BC．

∴∠DAF=∠BCN，∠ADF=∠CBN．

在△ADF和△CBN中，

．

∴△ADF≌△CBN（ASA）．

∴DF=BN．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴∠DAB+∠ABC=180°．

∴∠EAB+∠EBA=90°．

∴∠AEB=90°．

同理可得：∠AFD=∠DMC=90°．

∴∠EFM=90°．

∵FM=3，EF=4，

∴ME==5（cm）．

∵∠EFM=∠FMN=∠FEN=90°．

∴四邊形EFMN是矩形．

∴EN=FM=3．

∵∠DAF=∠EAB，∠AFD=∠AEB，

∴△AFD∽△AEB．

∴=．

∴=．

∴4DF=3AF．

設(shè)DF=3k，則AF=4k．

∵∠AFD=90°，

∴AD=5k．

∵∠AEB=90°，AE=4（k+1），BE=3（k+1），

∴AB=5（k+1）．

∵2（AB+AD）=42，

∴AB+AD=21．

∴5（k+1）+5k=21．

∴k=1.6．

∴AB=13（cm）．

故答案為：5、13．