Question

已知拋物線y＝ax ²＋bx＋c（a＜0）與x軸交于點A（8，0）和B（－12，0），與y軸交于點C（0，6）．

（1）求該拋物線的解析式：

（2）點D在線段AB上且AD＝AC，若動點M從A出發(fā)沿線段AB以每秒1個單位長度的速度勻速運動，同時另一動點N以某一速度從B出發(fā)沿線段BC勻速運動，問是否存在某一時刻t（秒），使線段MN被直線CD垂直平分？若存在，請求出此時的時間t和點N的運動速度；若不存在，請說明理由；21·世紀*教育網(wǎng)

（3）在第二象限的拋物線上取一點P，使得S_△PCA＝S_△PCB，再在拋物線上找一點Q（不與

點A、B、C重合），使得tan∠PBQ＝，求點Q的坐標．

 

Answer 1

（1）y＝－(x－8)(x＋12) ＝－x²－x＋6…………………………(2分)

（2）由題意，AD＝AC＝10，點D的坐標是（－2，0），有BD＝AD………………(3分)

     若CD垂直平分MN，DN＝DM，∠NDC＝∠MDC＝∠ACD，∴DN∥AC………(4分)

     于是BN＝CN，DN是中位線，DN＝＝5，∴AM＝t＝5………………………(5分)

     而BN＝5V_N＝6，點N的運動速度是 ………………………………………(6分)

（3）由S_△PCA＝S_△PCB，得PC∥AB，則P（－4，6）……………………………………(7分)

若tan∠PBQ＝，則∠PBQ＝∠CBA，于是∠PBC＝∠QBA，作PG⊥BC，QH⊥AB，

     注意到PG＝，CG＝，BG＝，則＝…………………………(8分)

Q（x，－x²－x＋6），由＝，解得x＝或－12（舍去）……(9分)

    故點Q的坐標是（，）……………………………………………………(10分)