Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，AB⊥x軸于點(diǎn)B，AB＝3，tan∠AOB＝，將△OAB繞著原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△OA₁B₁；再將△OA₁B₁繞著線段OB₁的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，得到△OA₂B₁，拋物線y＝ax²＋bx＋c(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)B、B₁、A₂．

(1)求拋物線的解析式．

(2)在第三象限內(nèi)，拋物線上的點(diǎn)P在什么位置時(shí)，△PBB₁的面積最大？求出這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

(3)在第三象限內(nèi)，拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q到線段BB₁的距離為？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確定點(diǎn)B、B1、A2三點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式； 　　(2)求出△PBB1的面積表達(dá)式，這是一個(gè)關(guān)于P點(diǎn)橫坐標(biāo)的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求極值的方法求出△PBB1面積的最大值；值得注意的是求△PBB1面積的方法，如題圖所示； 　　(3)本問引用了(2)問中三角形面積表達(dá)式的結(jié)論，利用此表達(dá)式表示出△QBB1的面積，然后解一元二次方程求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)． 　　解答：解：(1)∵AB⊥x軸，AB＝3，tan∠AOB＝，∴OB＝4， 　　∴B(－4，0)，B1(0，－4)，A2(3，0)． 　　∵拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)B、B1、A2， 　　∴， 　　解得 　　∴拋物線的解析式為：y＝x2＋x－4． 　　(2)點(diǎn)P是第三象限內(nèi)拋物線y＝x2＋x－4上的一點(diǎn)， 　　如圖，過點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C． 　　設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m，n)，則m＜0，n＜0，n＝m2＋m－4． 　　于是PC＝|n|＝－n＝－m2－m－4，OC＝|m|＝－m，BC＝OB－OC＝|－4|－|m|＝4＋m． 　　S△PBB1＝S△PBC＋S梯形PB1OC－S△OBB1 　�。�×BC×PC＋×(PC＋OB1)×OC－×OB×OB1 　�。�×(4＋m)×(－m2－m－4)＋×[(－m2－m－4)＋4]×(－m)－×4×4 　�。剑�m2－m＝－(m＋2)2＋ 　　當(dāng)m＝－2時(shí)，△PBB1的面積最大，這時(shí)，n＝－，即點(diǎn)P(－2，－)． 　　(3)假設(shè)在第三象限的拋物線上存在點(diǎn)Q(x0，y0)，使點(diǎn)Q到線段BB1的距離為． 　　如答圖，過點(diǎn)Q作QD⊥BB1于點(diǎn)D． 　　由(2)可知，此時(shí)△QBB1的面積可以表示為：－(x0＋2)2＋－， 　　在Rt△OBB1中，BB1＝＝4 　　∵S△QBB1＝×BB1×QD＝×4×＝2， 　　∴－(x0＋2)2＋＝2， 　　解得x0＝－1或x0＝－3 　　當(dāng)x0＝－1時(shí)，y0＝－4；當(dāng)x0＝－3時(shí)，y0＝－2， 　　因此，在第三象限內(nèi)，拋物線上存在點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q到線段BB1的距離為，這樣的點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(－1，－4)或(－3，－2)． 　　點(diǎn)評：本題綜合考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一元二次方程、旋轉(zhuǎn)與坐標(biāo)變化、圖形面積求法、勾股定理等重要知識點(diǎn)．第(2)問起承上啟下的作用，是本題的難點(diǎn)與核心，其中的要點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)圖形面積的求解方法，這種方法是壓軸題中常見的一種解題方法，同學(xué)們需要認(rèn)真掌握．

提示：

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．