Question

5．計算：
（1）2（x²+$\frac{1}{x^2}$）-3（x+$\frac{1}{x}$）=1
（2）$\frac{{x}^{2}+3}{x}$-$\frac{4x}{{x}^{2}+3}$=3．

Answer 1

分析 （1）設x+$\frac{1}{x}$=a，利用完全平方公式對原方程進行變形，得到關于a的一元二次方程，通過解該方程可以求得（x+$\frac{1}{x}$）的值，然后解關于x的分式方程，注意要驗根．
（2）設$\frac{{x}^{2}+3}{x}$=b，然后由原方程得到關于b的分式方程，通過解該分式方程求得$\frac{{x}^{2}+3}{x}$的值，然后再來解關于x的分式方程，注意要驗根．

解答 解：（1）x+$\frac{1}{x}$=a，則由原方程，得
2（a²-2）-3a=1，
整理，得
2a²-3a-5=0，
所以 a=$\frac{3±7}{4}$，
解得 a₁=$\frac{5}{2}$，a₂=-1．
①當a₁=$\frac{5}{2}$時，x+$\frac{1}{x}$=$\frac{5}{2}$，
整理得 2x²-5x+2=0．
所以 x=$\frac{5±\sqrt{25-4×2×2}}{4}$=$\frac{5±3}{4}$，
解得 x₁=2，x₂=$\frac{1}{2}$．
經(jīng)檢驗，x₁=2，x₂=$\frac{1}{2}$都是原方程的根．
②當a₂=-1時，x+$\frac{1}{x}$=-1，
整理，得
x²+x+1=0．
△=1-4=-3＜0．
則該方程無解．
綜上所述，原方程的解是：x₁=2，x₂=$\frac{1}{2}$；

（2）設$\frac{{x}^{2}+3}{x}$=b，則由原方程，得
b-$\frac{4}$=3，
整理 得
（b-4）（b+1）=0，
解得 b=4或b=-1．
①當b=4時 $\frac{{x}^{2}+3}{x}$=4，即（x-1）（x-3）=0，
解得 x₁=1，x₂=3．
經(jīng)檢驗，x₁=1，x₂=3都是原方程的根；
②當b=-1時 $\frac{{x}^{2}+3}{x}$=-1，即x²+x+3=0，
△=1-12=-11＜0．
則該方程無解．
綜上所述，原方程的解是：x₁=1，x₂=3．

點評 本題考查了換元法解分式方程．用換元法解一些復雜的分式方程是比較簡單的一種方法，根據(jù)方程特點設出相應未知數(shù)，解方程能夠使問題簡單化，注意求出方程解后要驗根．