Question

如圖，直線y=2x與雙曲線交于點A、E，直線AB交雙曲線于另一點B（2m，m），連接EB并延長交x軸于點F．
（1）m=______；
（2）求直線AB的解析式；
（3）求△EOF的面積；
（4）若點P為坐標平面內一點，且以A，B，E，P為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出所有滿足條件的點P的坐標．

Answer 1

解：（1）∵點B（2m，m）在雙曲線上，
∴2m•m=8，解得m=±2，而m＞0，
∴m=2．
故答案為2；

（2）m=2，則B點坐標為（4，2），
解方程組得或，
∴A點坐標為（-2，-4），E點坐標為（2，4），
設直線AB的解析式為y=kx+b，
把A（-2，-4），B（4，2）代入得：-2k+b=-4，4k+b=2，解方程組得k=1，b=-2，
∴直線AB的解析式為y=x-2；

（3）設直線EB的解析式為y=kx+b，
把E（2，4），B（4，2）代入得：2k+b=4，4k+b=2，解方程組得k=-1，b=6，
∴直線EB的解析式為y=-x+6，
令y=0，則-x+6=0，得x=6，即F點的坐標為（6，0），
∴△EOF的面積=×6×4=12；

（4）滿足條件的點P的坐標為（-4，-2）、（0，-6）、（8，10）．
分析：（1）把點B（2m，m）代入雙曲線，即可求出滿足條件的m的值；
（2）先解方程組可得到A點坐標為（-2，-4）和E點坐標為（2，4），然后利用待定系數法求出直線AB的解析式；
（3）先利用待定系數法求出直線EB的解析式，再令y=0，確定F點的坐標，最后根據三角形的面積公式求出△EOF的面積；
（4）分類討論：分別以AB、BE、AE為對角線求對應的P點坐標．分別求出過A點與BE平行的直線解析式；過B點與AE平行的直線解析式；過E點與AB平行的直線解析式；然后求出這三條直線的交點即可．
點評：本題考查了反比例函數的綜合題：點在圖象上，點的橫縱坐標滿足圖象的解析式，利用待定系數法求直線的解析式以及兩直線平行的解析式的關系．