Question

設x₁、x₂是關于x的一元二次方程x²+ax+a+3=0的兩個實數根，則x₁²+x₂²的最小值為    ．

Answer 1

【答案】分析：首先根據根的判別式求出a的取值范圍，由根與系數的關系可得：x₁+x₂=-a，x₁•x₂=a+3，又知x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=a²-2a-6，則二次項系數大于0，然后利用配方法即可求出最值．
解答：解：∵x₁、x₂是關于x的一元二次方程x²+ax+a+3=0的兩個實數根，
∴△=a²-4（a+3）=a²-4a-12=（a+2）（a-6）≥0，
∴a+2≥0，a-6≥0或a+2≤0，a-6≤0，
∴a≥6或a≤-2，
由根與系數的關系可得：
x₁+x₂=-a，x₁•x₂=a+3，
又知x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=a²-2a-6=（a-1）²-7，
∴a=-2時，有最小值，
所以最小值為2．
點評：本題考查一元二次方程根與系數的關系，以及利用配方法確定式子的最值．